数学 - Python - 解析学 - 級数 - べき級数の微分と積分 - 項別微分、和、等式の証明、ベッセル関数(besselj)

解析入門 原書第3版
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、7(べき級数の微分と積分)の練習問題6を求めてみる。

6. 
   
   $\begin{array}{l}\frac{d}{\mathrm{dx}}{J}_k\left(x\right)\\ =\frac{d}{\mathrm{dx}}\sum _{n=0}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^n}{n!\left(n+k\right)!}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{2n+k}\\ =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^n}{n!\left(n+k\right)!}·\frac{2n+k}{2^{2n+k}}{x}^{2n+k-1}\\ \frac{d^2}{d{x}^2}{J}_k\left(x\right)\\ =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^n}{n!\left(n+k\right)!}·\frac{\left(2n+k\right)\left(2n+k-1\right)}{2^{2n+k}}·x^{2n+k-2}\end{array}$

   よって、

   $\begin{array}{l}{x}^2{J}_k\text{'}\text{'}\left(x\right)+x{J}_k\text{'}\left(x\right)+\left(x^2-k^2\right)J_k\left(x\right)\\ =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^n}{n!\left(n+k\right)!}·\frac{\left(2n+k\right)\left(2n+k-1\right)}{2^{2n+k}}·x^{2n+k}\\ +\sum _{n=0}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^n}{n!\left(n+k\right)}·\frac{2n+k}{2^{2n+k}}{x}^{2n+k}\\ +\sum _{n=0}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^n}{n!\left(n+k\right)!}·\frac{1}{2^{2n+k}}{x}^{2n+k+2}\\ -\sum _{n=0}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^n}{n!\left(n+k\right)!}·\frac{k^2}{2^{2n+k}}{x}^{2n+k}\\ =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^n}{n!\left(n+k\right)!}·\frac{1}{2^{2n+k}}\left(4n^2+4nk\right)x^{2n+k}\\ +\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^{n-1}}{\left(n-1\right)!\left(n+k-1\right)!}·\frac{1}{2^{2n+k-2}}{x}^{2n+k}\\ =\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^n}{\left(n-1\right)!\left(n+k-1\right)!}·\frac{1}{2^{2n+k-2}}{x}^{2n+k}\\ -\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^n}{\left(n-1\right)!\left(n+k-1\right)!}·\frac{1}{2^{2n+k·2}}{x}^{2a+k}\\ =0\end{array}$

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, plot, Derivative, factorial

print('5.')

x, n = symbols('x, n')
k = symbols('k', positive=True, integer=True)
t = (-1) ** n / (factorial(n) * factorial(n + k)) * (x / 2) ** (2 * n + k)
f = summation(t, (n, 0, oo))
f1 = Derivative(f, x, 1).doit()
f2 = Derivative(f, x, 2).doit()
for o in [f, f1, f2, (x ** 2 * f2 + x * f1 + (x ** - k ** 2) * f).simplify()]:
    pprint(o)
    print()


def g(m):
    return sum([t.subs({n: k}) for k in range(m + 1)])


k0 = 1
fs = [g(m).subs({k: k0}) for m in range(9)]
p = plot(f.subs({k: k0}), *fs,
         ylim=(-10, 10),
         legend=False,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

for o in zip(fs, colors):
    pprint(o)
    print()

p.show()
p.save('sample6.png')

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample6.py
5.
besselj(k, x)

besselj(k - 1, x)   besselj(k + 1, x)
───────────────── - ─────────────────
        2                   2        

-2⋅besselj(k, x) + besselj(k - 2, x) + besselj(k + 2, x)
────────────────────────────────────────────────────────
                           4                            

     ⎛  2                                                                     
   2 ⎜ k  + 1                                                                 
 -k  ⎜x      ⋅(x⋅(-2⋅besselj(k, x) + besselj(k - 2, x) + besselj(k + 2, x)) + 
x   ⋅⎜────────────────────────────────────────────────────────────────────────
     ⎝                                                        4               

                                                          ⎞
                                                          ⎟
2⋅besselj(k - 1, x) - 2⋅besselj(k + 1, x))                ⎟
────────────────────────────────────────── + besselj(k, x)⎟
                                                          ⎠

⎛x     ⎞
⎜─, red⎟
⎝2     ⎠

⎛   3           ⎞
⎜  x    x       ⎟
⎜- ── + ─, green⎟
⎝  16   2       ⎠

⎛  5    3          ⎞
⎜ x    x    x      ⎟
⎜─── - ── + ─, blue⎟
⎝384   16   2      ⎠

⎛     7      5    3           ⎞
⎜    x      x    x    x       ⎟
⎜- ───── + ─── - ── + ─, brown⎟
⎝  18432   384   16   2       ⎠

⎛    9        7      5    3            ⎞
⎜   x        x      x    x    x        ⎟
⎜─────── - ───── + ─── - ── + ─, orange⎟
⎝1474560   18432   384   16   2        ⎠

⎛      11          9        7      5    3            ⎞
⎜     x           x        x      x    x    x        ⎟
⎜- ───────── + ─────── - ───── + ─── - ── + ─, purple⎟
⎝  176947200   1474560   18432   384   16   2        ⎠

⎛     13           11          9        7      5    3          ⎞
⎜    x            x           x        x      x    x    x      ⎟
⎜─────────── - ───────── + ─────── - ───── + ─── - ── + ─, pink⎟
⎝29727129600   176947200   1474560   18432   384   16   2      ⎠

⎛        15             13           11          9        7      5    3       
⎜       x              x            x           x        x      x    x    x   
⎜- ───────────── + ─────────── - ───────── + ─────── - ───── + ─── - ── + ─, g
⎝  6658877030400   29727129600   176947200   1474560   18432   384   16   2   

   ⎞
   ⎟
ray⎟
   ⎠

⎛       17                15             13           11          9        7  
⎜      x                 x              x            x           x        x   
⎜──────────────── - ───────────── + ─────────── - ───────── + ─────── - ───── 
⎝1917756584755200   6658877030400   29727129600   176947200   1474560   18432 

    5    3             ⎞
   x    x    x         ⎟
+ ─── - ── + ─, skyblue⎟
  384   16   2         ⎠

%