数学 - Python - 解析学 - 関数の近似、テイラーの定理 - テイラーの定理 - 平均値の定理

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第6章(関数の近似、テイラーの定理)、6.1(テイラーの定理)、問題2の解答を求めてみる。

2. 
   

   f は a の近傍で2回税紛可能なので、f の導関数は微分可能。 よって連続でもある。

   ゆえに 、 平均値の定理より、

   $\begin{array}{l}f\text{'}\left(a+\theta h\right)=f\text{'}\left(a\right)+\theta hf\text{'}\text{'}\left(a+{\theta }_1\left(\theta h\right)\right)\\ 0<{\theta }_1<1\end{array}$

   となる

   ${\theta }_1$

   が存在する。

   よって、 これを代入すると、

   $\begin{array}{l}f\left(\theta +h\right)\\ =f\left(a\right)+h\left(f\text{'}\left(a\right)+\theta hf\text{'}\text{'}\left(a+{\theta }_1\left(\theta h\right)\right)\right)\end{array}$

   また、 テイラー の定理 により、

   $\begin{array}{l}f\left(a+h\right)\\ =f\left(a\right)+f\text{'}\left(a\right)h+\frac{f\text{'}\text{'}\left(a+{\theta }_{2}h\right)}{2}{h}^2\\ 0<{\theta }_2<1\end{array}$

   2つの式を比較する。

   $\begin{array}{l}\theta h^{2}f\text{'}\text{'}\left(a+{\theta }_1\theta h\right)=\frac{1}{2}f\text{'}\text{'}\left(a+{\theta }_{2}h\right)h^2\\ \theta =\frac{1}{2}·\frac{f\text{'}\text{'}\left(a+{\theta }_{2}h\right)}{f\text{'}\text{'}\left(a+{\theta }_1\theta h\right)}\end{array}$

   よって

   $\begin{array}{l}h\to 0\\ \Rightarrow \theta \to \frac{1}{2}·\frac{f\text{'}\text{'}\left(a\right)}{f\text{'}\text{'}\left(a\right)}=\frac{1}{2}\end{array}$

   である。

   また、問題の仮定より、

   $f\text{'}\text{'}$

   は a の近傍で狭義単調なので、

   $\theta$

   は h に対して一意的に定まる。

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, exp, Derivative, plot, solve, Limit

print('2.')

x, h, theta = symbols('x, h, θ', real=True)
f = exp(x)
a = 0

l = f.subs({x: a + h})
r = f.subs({x: a}) + h * Derivative(f, x, 1).doit().subs({x: a + theta * h})
s = solve(l - r, theta)
pprint(s)
print()

for o in ['+', '-']:
    l = Limit(s[0], h, 0, dir=o)
    for t in [l, l.doit()]:
        pprint(t)
        print()


p = plot(f, f.subs({x: a}) + Derivative(f, x, 1).doit().subs({x: a}) * x,
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         show=False,
         legend=True)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample2.png')

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample2.py
2.
⎡   ⎛ ⎛     h⎞ ⎞⎤
⎢   ⎜-⎝1 - ℯ ⎠ ⎟⎥
⎢log⎜──────────⎟⎥
⎢   ⎝    h     ⎠⎥
⎢───────────────⎥
⎣       h       ⎦

     ⎛   ⎛ ⎛     h⎞ ⎞⎞
     ⎜   ⎜-⎝1 - ℯ ⎠ ⎟⎟
     ⎜log⎜──────────⎟⎟
     ⎜   ⎝    h     ⎠⎟
 lim ⎜───────────────⎟
h─→0⁺⎝       h       ⎠

1/2

     ⎛   ⎛ ⎛     h⎞ ⎞⎞
     ⎜   ⎜-⎝1 - ℯ ⎠ ⎟⎟
     ⎜log⎜──────────⎟⎟
     ⎜   ⎝    h     ⎠⎟
 lim ⎜───────────────⎟
h─→0⁻⎝       h       ⎠

1/2

%