2019年10月5日土曜日

学習環境

ラング線形代数学(下) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の14章(群)、1(群の簡単な性質)、練習問題4の解答を求めてみる。



    1. σ a , b σ c , d x = a c x + d + b = a c x + a d + b

      よって、 写像の合成について閉じている。

      σ a , b σ c , d σ e , f x = σ a , b c e x + f + d = a c e x + f + d + b = a c e x + a c f + a d + b

      また、

      σ a , b σ c , d σ e , f x = σ a , b σ c , d e x + f = σ a , b c e x + f + d = a c e x + f + d + b = a c e x + a c f + a d + b

      よって、

      σ a , b σ c , d σ e , f x = σ a , b σ c , d σ e , f x
      • 結合律 が成り立つ。

      単位元は恒等写像。

      σ a , b σ 1 , 0 x = a x + 0 + b = a x + b σ 1 , 0 σ a , b x = σ 1 , 0 a x + b = a x + b

      また、任意の元、

      σ a , b x

      に対する逆元は、

      σ 1 a , - b a x

      である。

      実際に、

      σ a , b σ 1 a , - b a x = a 1 a x - b a + b = x - b + b = x = σ 1 , 0 x σ 1 a , - b a σ a , b x = 1 a a x + b - b a = x = σ 1 , 0 x

      よって、 G は群である。

      (証明終)


    2. f σ a , b σ c , d = a c = f σ a , b f σ c , d

      (f は問題の対応)

      よって、 f は準同形である。

      核は、

      σ 1 , b G | b

      実際に、

      f σ 1 , 0 = 1

      (証明終)

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