数学 - 微分積分学 - 平均値の定理 - 連続関数 - 右微分可能性と右連続、左微分可能性と左連続

微分積分学
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微分積分学 (ちくま学芸文庫) (吉田 洋一(著)、筑摩書房)のⅢ.(平均値の定理)、1.(連続関数)、問4.の解答を求めてみる。

3. 
   

   右微分可能な場合、ある定数 c が存在して、

   $\begin{array}{l}h>0,h\to 0\\ \Rightarrow \\ \frac{f\left(b+h\right)-f\left(b\right)}{h}\to c\\ f\left(b+h\right)-f\left(b\right)\to ch\\ f\left(b+h\right)-f\left(b\right)\to 0\end{array}$

   よって、 右連続である。

   た微分可能ならば、ある実数 c が存在して

   $\begin{array}{l}h<0,h\to 0\\ \Rightarrow \\ \frac{f\left(b+h\right)-f\left(b\right)}{h}\to c\\ f\left(b+h\right)-f\left(b\right)\rightharpoonup hc\\ f\left(b+h\right)-f\left(b\right)\to 0\end{array}$

   よって左連続である。

   （証明終）