数学 - 代数学 - 実数 - 平方根、有理数、無理数であることの証明、背理法、平方

代数への出発
楽天ブックス Yahoo!

学習環境

• Surface
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)

代数への出発 (新装版 数学入門シリーズ) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第1章(実数)、練習問題13の解答を求めてみる。

13. 
    
    1. 
       
       $\begin{array}{l}b,c\in \text{ℚ}\\ b\sqrt{2}+c\sqrt{3}=0\end{array}$

       とする。

       $b\ne 0$

       と仮定すると、

       $\begin{array}{l}\sqrt{2}=-\frac{c\sqrt{3}}{b}\\ \frac{c}{b}=-\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}\end{array}$

       この等式について、 左辺は有理数、右辺は無理数となり矛盾。
       よって

       $b=0$

       同様に、

       $\begin{array}{l}c\ne 0\\ \sqrt{3}=-\frac{b}{c}\sqrt{2}\\ -\frac{b}{c}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}\end{array}$

       なので

       $c=0$

       よって、

       $b,c\in \text{ℚ}\wedge b\sqrt{2}+c\sqrt{3}=0\Rightarrow b=c=0$

       である。

       （証明終）

    2. 
       
       $\begin{array}{l}a,b,c\in \text{ℚ}\\ a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}=0\end{array}$

       とする。

       $a=0$

       のとき、

       $b\sqrt{2}+c\sqrt{3}=0$

       よって （1） より

       $b=c=0$

       また

       $a\ne 0$

       と仮定する。

       $b\sqrt{2}+c\sqrt{3}=-a$

       両辺を2乗すると

       $2b^2+3c^2+2bc\sqrt{6}=a^2$

       この等式 について、左辺は無理数、右辺は有理数となり矛盾。

       よって、

       $a=0$

       ゆえに、

       $\begin{array}{l}a,b,c\in \text{ℚ}\wedge a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}=0\\ \Rightarrow a=b=c=0\end{array}$

       である。

       （証明終）