数学 - Python - 解析学 - 各種の初等関数 - 三角関数(続き)、逆三角関数 - 正弦、積、逆数、連続、微分可能、極限、収束、発散

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.4(三角関数(続き)、逆三角関数)、問題6の解答を求めてみる。

6. 
   
   $\underset{x\to 0}{\lim }x\sin \frac{1}{x}=0$

   よって問題の関数は連続である。

   $\begin{array}{l}\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\left(0+h\right)\sin \frac{1}{\left(0+h\right)}-0}{h}\\ =\underset{h\to 0}{\lim }\sin \frac{1}{h}\end{array}$

   よって、 0において 微分可能ではない。

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sin, cos, log, Derivative, plot, Limit

print('6.')

x, h = symbols('x, h')
f = x * sin(1 / x)

for d in ['+', '-']:
    l = Limit(f, x, 0, dir=d)
    for o in [l, l.doit()]:
        pprint(o)
        print()

g = f.subs({x: 0 + h}) / h
for d in ['+', '-']:
    l = Limit(g, h, 0, dir=d)
    for o in [l, l.doit()]:
        pprint(o)
        print()

p = plot((f, (x, -1, -0.00001)),
         (f, (x, 0.00001, 1)),
         ylim=(-1, 1),
         show=False,
         legend=True)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample6.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample6.py
6.
     ⎛     ⎛1⎞⎞
 lim ⎜x⋅sin⎜─⎟⎟
x─→0⁺⎝     ⎝x⎠⎠

0

     ⎛     ⎛1⎞⎞
 lim ⎜x⋅sin⎜─⎟⎟
x─→0⁻⎝     ⎝x⎠⎠

0

        ⎛1⎞
 lim sin⎜─⎟
h─→0⁺   ⎝h⎠

<-1, 1>

        ⎛1⎞
 lim sin⎜─⎟
h─→0⁻   ⎝h⎠

<-1, 1>


C:\Users\...>