数学 - Python - 解析学 - 各種の初等関数 - 三角関数(続き)、逆三角関数 - 累乗と累乗の逆数の正弦の積、高次導関数の連続性

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解析入門(上) (松坂和夫数学入門シリーズ 4) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.4(三角関数(続き)、逆三角関数)、問題8の解答を求めてみる。

1. $\begin{array}{l} \lim_{h \to 0} f (0 + h) \\ = \lim_{h \to 0} f (h) \\ = \lim_{h \to 0} h^{m} \sin \frac{1}{h^{n}} \\ = 0 \end{array}$
  よって、関数 f は 0において連続である。
  （証明終）
2. $\begin{array}{l} \lim_{h \to 0} \frac{f (0 + h) - f (0)}{h} \\ = \lim_{h \to 0} \frac{f (h)}{h} \\ = \lim_{h \to 0} \frac{h^{m} \sin \frac{1}{h^{n}}}{h} \\ = \lim_{h \to 0} h^{m - 1} \sin \frac{1}{h^{n}} \end{array}$
  この極極が存在するのは、
  $\lim_{h \to 0} h^{m - 1} = 0$
  のとき、すなわち
  $\begin{array}{l} m - 1 > 0 \\ m > 1 \end{array}$
  のときである。
  （証明終）
3. $\begin{array}{l} x \neq 0 \\ f' (x) \\ = m x^{m - 1} \sin \frac{1}{x^{n}} + x^{m} (\cos \frac{1}{x^{n}}) (- \frac{n x^{n - 1}}{x^{2 n}}) \\ = m x^{m - 1} \sin \frac{1}{x^{n}} - x^{(m - n - 1)} \cos \frac{1}{x^{n}} \end{array}$
  よって、 0において連続、すなわち
  $\lim_{x \to 0} f' (x) = 0$
  を満たすのは、
  $\begin{array}{l} m - n - 1 > 0 \\ m > n + 1 \end{array}$
  のときである。
  （証明終）
4. $\begin{array}{l} \lim_{h \to 0} \frac{f' (0 + h) - f' (0)}{h} \\ = \lim_{h \to 0} \frac{f' (h)}{h} \\ = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} (m h^{m - 1} \sin \frac{1}{h^{n}} - h^{(m - n - 1)} \cos \frac{1}{h^{n}}) \\ = \lim_{h \to 0} (m h^{m - 2} \sin \frac{1}{h^{n}} - h^{(m - n - 2)} \cos \frac{1}{h^{n}}) \end{array}$
  この極限が存在するのは、
  $\begin{array}{l} m - 2 > 0 \\ m - n - 2 > 0 \\ m > n + 2 \end{array}$
  のとき o
  （証明終）
5. $\begin{array}{l} x \neq 0 \\ f'' (x) \\ = m (m - 1) x^{m - 2} \sin \frac{1}{x^{n}} + m x^{m - 1} (\cos \frac{1}{x^{n}}) \frac{- n x^{n - 1}}{x^{2 n}} \\ - (m - n - 1) x^{(m - n - 2)} \cos \frac{1}{x^{n}} - x^{(m - n - 1)} (- \sin \frac{1}{x^{n}}) \cdot \frac{- n x^{n - 1}}{x^{2 n}} \end{array}$
  よって、
  $\lim_{x \to 0} f'' (x) = 0$
  となるのは、
  $\begin{array}{l} m - 2 > 0 \\ m - n - 2 > 0 \\ m - 2 n - 2 > 0 \\ m > 2 n + 2 \end{array}$
  のとき。
  （証明終）

#!/usr/bin/env python3 from sympy import pprint, symbols, sin, Derivative, plot print('8.') x = symbols('x') n = 2 ms = [n + m for m in range(1, 5)] fs = [x ** m * sin(1 / x ** n) for m in ms] for i, g in enumerate(fs): gs = [] for l in range(3): d = Derivative(g, x, l) d1 = d.doit() gs.append(d1) for o in [d, d1]: pprint(o) print() p = plot(*[(g, (x, -1, -0.00001)) for g in gs], *[(g, (x, 0.00001, 1)) for g in gs], ylim=(-1, 1), show=False, legend=True) colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow'] for o, color in zip(p, colors): o.line_color = color p.show() p.save('sample8_{i}.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample8.py 8. 3 ⎛1 ⎞ x ⋅sin⎜──⎟ ⎜ 2⎟ ⎝x ⎠ 3 ⎛1 ⎞ x ⋅sin⎜──⎟ ⎜ 2⎟ ⎝x ⎠ d ⎛ 3 ⎛1 ⎞⎞ ──⎜x ⋅sin⎜──⎟⎟ dx⎜ ⎜ 2⎟⎟ ⎝ ⎝x ⎠⎠ 2 ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ 3⋅x ⋅sin⎜──⎟ - 2⋅cos⎜──⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 2⎟ ⎝x ⎠ ⎝x ⎠ 2 d ⎛ 3 ⎛1 ⎞⎞ ───⎜x ⋅sin⎜──⎟⎟ 2⎜ ⎜ 2⎟⎟ dx ⎝ ⎝x ⎠⎠ ⎛ ⎛1 ⎞ ⎞ ⎜ 2⋅sin⎜──⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 2⎟ ⎟ ⎜ ⎛1 ⎞ ⎝x ⎠ ⎛1 ⎞⎟ ⎜ 3⋅cos⎜──⎟ - ───────── 6⋅cos⎜──⎟⎟ ⎜ ⎜ 2⎟ 2 ⎜ 2⎟⎟ ⎜ ⎛1 ⎞ ⎝x ⎠ x ⎝x ⎠⎟ 2⋅⎜3⋅x⋅sin⎜──⎟ + ───────────────────── - ─────────⎟ ⎜ ⎜ 2⎟ x x ⎟ ⎝ ⎝x ⎠ ⎠ 4 ⎛1 ⎞ x ⋅sin⎜──⎟ ⎜ 2⎟ ⎝x ⎠ 4 ⎛1 ⎞ x ⋅sin⎜──⎟ ⎜ 2⎟ ⎝x ⎠ d ⎛ 4 ⎛1 ⎞⎞ ──⎜x ⋅sin⎜──⎟⎟ dx⎜ ⎜ 2⎟⎟ ⎝ ⎝x ⎠⎠ 3 ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ 4⋅x ⋅sin⎜──⎟ - 2⋅x⋅cos⎜──⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 2⎟ ⎝x ⎠ ⎝x ⎠ 2 d ⎛ 4 ⎛1 ⎞⎞ ───⎜x ⋅sin⎜──⎟⎟ 2⎜ ⎜ 2⎟⎟ dx ⎝ ⎝x ⎠⎠ ⎛ ⎛1 ⎞⎞ ⎜ 2⋅sin⎜──⎟⎟ ⎜ ⎜ 2⎟⎟ ⎜ 2 ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎝x ⎠⎟ 2⋅⎜6⋅x ⋅sin⎜──⎟ - 5⋅cos⎜──⎟ - ─────────⎟ ⎜ ⎜ 2⎟ ⎜ 2⎟ 2 ⎟ ⎝ ⎝x ⎠ ⎝x ⎠ x ⎠ 5 ⎛1 ⎞ x ⋅sin⎜──⎟ ⎜ 2⎟ ⎝x ⎠ 5 ⎛1 ⎞ x ⋅sin⎜──⎟ ⎜ 2⎟ ⎝x ⎠ d ⎛ 5 ⎛1 ⎞⎞ ──⎜x ⋅sin⎜──⎟⎟ dx⎜ ⎜ 2⎟⎟ ⎝ ⎝x ⎠⎠ 4 ⎛1 ⎞ 2 ⎛1 ⎞ 5⋅x ⋅sin⎜──⎟ - 2⋅x ⋅cos⎜──⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 2⎟ ⎝x ⎠ ⎝x ⎠ 2 d ⎛ 5 ⎛1 ⎞⎞ ───⎜x ⋅sin⎜──⎟⎟ 2⎜ ⎜ 2⎟⎟ dx ⎝ ⎝x ⎠⎠ ⎛ ⎛1 ⎞⎞ ⎜ 2⋅sin⎜──⎟⎟ ⎜ ⎜ 2⎟⎟ ⎜ 2 ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎝x ⎠⎟ 2⋅x⋅⎜10⋅x ⋅sin⎜──⎟ - 7⋅cos⎜──⎟ - ─────────⎟ ⎜ ⎜ 2⎟ ⎜ 2⎟ 2 ⎟ ⎝ ⎝x ⎠ ⎝x ⎠ x ⎠ 6 ⎛1 ⎞ x ⋅sin⎜──⎟ ⎜ 2⎟ ⎝x ⎠ 6 ⎛1 ⎞ x ⋅sin⎜──⎟ ⎜ 2⎟ ⎝x ⎠ d ⎛ 6 ⎛1 ⎞⎞ ──⎜x ⋅sin⎜──⎟⎟ dx⎜ ⎜ 2⎟⎟ ⎝ ⎝x ⎠⎠ 5 ⎛1 ⎞ 3 ⎛1 ⎞ 6⋅x ⋅sin⎜──⎟ - 2⋅x ⋅cos⎜──⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 2⎟ ⎝x ⎠ ⎝x ⎠ 2 d ⎛ 6 ⎛1 ⎞⎞ ───⎜x ⋅sin⎜──⎟⎟ 2⎜ ⎜ 2⎟⎟ dx ⎝ ⎝x ⎠⎠ ⎛ ⎛1 ⎞⎞ ⎜ 2⋅sin⎜──⎟⎟ ⎜ ⎜ 2⎟⎟ 2 ⎜ 2 ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎝x ⎠⎟ 2⋅x ⋅⎜15⋅x ⋅sin⎜──⎟ - 9⋅cos⎜──⎟ - ─────────⎟ ⎜ ⎜ 2⎟ ⎜ 2⎟ 2 ⎟ ⎝ ⎝x ⎠ ⎝x ⎠ x ⎠ C:\Users\...>