数学 - Python - 解析学 - 各種の初等関数 - 三角関数(続き)、逆三角関数 - 正弦と余弦、級数、偶奇、不等号、帰納法による証明

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.4(三角関数(続き)、逆三角関数)、問題10の解答を求めてみる。

10. 
    
    $\begin{array}{l}\frac{d}{\mathrm{dx}}\left(f_{2n-1}\left(x\right)-\sin x\right)\\ =g_{2a-1}\left(x\right)-\cos x\\ \frac{d}{\mathrm{dx}}\left(\cos x-g_{2n}\left(x\right)\right)\\ =f_{2n-1}\left(x\right)-\sin x\\ \frac{d}{\mathrm{dx}}\left(\sin x-f_{2n}\left(x\right)\right)\\ =\cos x-g_{2n}\left(x\right)\\ \frac{d}{\mathrm{dx}}\left(g_{2n+1}\left(x\right)-\cos x\right)\\ =\sin x-f_{2n}\left(x\right)\end{array}$

    また、

    $\begin{array}{l}{f}_{2n-1}\left(0\right)-\sin 0=0\\ \cos \left(0\right)-g_{2n}\left(0\right)=1-1=0\\ \sin 0-f_{in}\left(0\right)=0\\ \cos 0-g_{2n+1}\left(0\right)=0\end{array}$

    よって、

    $g_{2n-1}\left(x\right)-\cos x>0$

    と仮定すると、

    $\begin{array}{l}x>0\\ f_{2n-1}\left(x\right)-\sin x>0\\ \cos x-g_{2n}\left(x\right)>0\\ \sin x-f_{2n}\left(x\right)>0\\ g_{2n+1}-\cos x>0\\ f_{2n+1}\left(x\right)-\sin x>0\\ \cos x-g_{2n+2}\left(x\right)>0\text{'}\\ \sin x-f_{2n+2}\left(x\right)>0\\ f_{2n+2}\left(x\right)<\sin x<f_{2n+1}\left(x\right)\\ g_{2n+2}\left(x\right)<\cos x<g_{2n+1}\left(x\right)\end{array}$

    よって、 帰納法により 成り立つ。

    （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sin, cos, factorial, plot
from sympy import summation, factorial

print('10.')

k, n, x = symbols('k, n, x')
fn = summation((-1) ** (k - 1) * x ** (2 * k - 1) / factorial(2 * k - 1),
               (k, 1, n))
gn = summation((-1) ** (k - 1) * x ** (2 * k - 2) / factorial(2 * k - 2),
               (k, 1, n))

ns = range(1, 5)
fns = [fn.subs({n: n0}) for n0 in ns]
gns = [gn.subs({n: n0}) for n0 in ns]
hs = [sin(x)] + fns + [cos(x)] + gns

p = plot(*hs,
         (x, 0, 5),
         ylim=(-2.5, 2.5),
         show=False,
         legend=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

for o in zip(hs, colors):
    pprint(o)
    print()

p.show()
p.save(f'sample10.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

$ ./sample10.py
10.
(sin(x), red)

⎛        ⎛       │   2 ⎞                ⎞
⎜ 3  ┌─  ⎜  1    │ -x  ⎟                ⎟
⎜x ⋅ ├─  ⎜       │ ────⎟                ⎟
⎜   1╵ 2 ⎝2, 5/2 │  4  ⎠                ⎟
⎜─────────────────────── + sin(x), green⎟
⎝           6                           ⎠

⎛          ⎛       │   2 ⎞               ⎞
⎜   5  ┌─  ⎜  1    │ -x  ⎟               ⎟
⎜  x ⋅ ├─  ⎜       │ ────⎟               ⎟
⎜     1╵ 2 ⎝3, 7/2 │  4  ⎠               ⎟
⎜- ─────────────────────── + sin(x), blue⎟
⎝            120                         ⎠

⎛        ⎛       │   2 ⎞                ⎞
⎜ 7  ┌─  ⎜  1    │ -x  ⎟                ⎟
⎜x ⋅ ├─  ⎜       │ ────⎟                ⎟
⎜   1╵ 2 ⎝4, 9/2 │  4  ⎠                ⎟
⎜─────────────────────── + sin(x), brown⎟
⎝          5040                         ⎠

⎛          ⎛        │   2 ⎞                 ⎞
⎜   9  ┌─  ⎜   1    │ -x  ⎟                 ⎟
⎜  x ⋅ ├─  ⎜        │ ────⎟                 ⎟
⎜     1╵ 2 ⎝5, 11/2 │  4  ⎠                 ⎟
⎜- ──────────────────────── + sin(x), orange⎟
⎝           362880                          ⎠

(cos(x), purple)

⎛        ⎛       │   2 ⎞               ⎞
⎜ 2  ┌─  ⎜  1    │ -x  ⎟               ⎟
⎜x ⋅ ├─  ⎜       │ ────⎟               ⎟
⎜   1╵ 2 ⎝3/2, 2 │  4  ⎠               ⎟
⎜─────────────────────── + cos(x), pink⎟
⎝           2                          ⎠

⎛          ⎛       │   2 ⎞               ⎞
⎜   4  ┌─  ⎜  1    │ -x  ⎟               ⎟
⎜  x ⋅ ├─  ⎜       │ ────⎟               ⎟
⎜     1╵ 2 ⎝5/2, 3 │  4  ⎠               ⎟
⎜- ─────────────────────── + cos(x), gray⎟
⎝             24                         ⎠

⎛        ⎛       │   2 ⎞                  ⎞
⎜ 6  ┌─  ⎜  1    │ -x  ⎟                  ⎟
⎜x ⋅ ├─  ⎜       │ ────⎟                  ⎟
⎜   1╵ 2 ⎝7/2, 4 │  4  ⎠                  ⎟
⎜─────────────────────── + cos(x), skyblue⎟
⎝          720                            ⎠

⎛          ⎛       │   2 ⎞                 ⎞
⎜   8  ┌─  ⎜  1    │ -x  ⎟                 ⎟
⎜  x ⋅ ├─  ⎜       │ ────⎟                 ⎟
⎜     1╵ 2 ⎝9/2, 5 │  4  ⎠                 ⎟
⎜- ─────────────────────── + cos(x), yellow⎟
⎝           40320                          ⎠

$