2019年9月24日火曜日

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.4(三角関数(続き)、逆三角関数)、問題10の解答を求めてみる。


  1. d dx f 2 n - 1 x - sin x = g 2 a - 1 x - cos x d dx cos x - g 2 n x = f 2 n - 1 x - sin x d dx sin x - f 2 n x = cos x - g 2 n x d dx g 2 n + 1 x - cos x = sin x - f 2 n x

    また、

    f 2 n - 1 0 - sin 0 = 0 cos 0 - g 2 n 0 = 1 - 1 = 0 sin 0 - f i n 0 = 0 cos 0 - g 2 n + 1 0 = 0

    よって、

    g 2 n - 1 x - cos x > 0

    と仮定すると、

    x > 0 f 2 n - 1 x - sin x > 0 cos x - g 2 n x > 0 sin x - f 2 n x > 0 g 2 n + 1 - cos x > 0 f 2 n + 1 x - sin x > 0 cos x - g 2 n + 2 x > 0 ' sin x - f 2 n + 2 x > 0 f 2 n + 2 x < sin x < f 2 n + 1 x g 2 n + 2 x < cos x < g 2 n + 1 x

    よって、 帰納法により 成り立つ。

    (証明終)

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sin, cos, factorial, plot
from sympy import summation, factorial

print('10.')

k, n, x = symbols('k, n, x')
fn = summation((-1) ** (k - 1) * x ** (2 * k - 1) / factorial(2 * k - 1),
               (k, 1, n))
gn = summation((-1) ** (k - 1) * x ** (2 * k - 2) / factorial(2 * k - 2),
               (k, 1, n))

ns = range(1, 5)
fns = [fn.subs({n: n0}) for n0 in ns]
gns = [gn.subs({n: n0}) for n0 in ns]
hs = [sin(x)] + fns + [cos(x)] + gns

p = plot(*hs,
         (x, 0, 5),
         ylim=(-2.5, 2.5),
         show=False,
         legend=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

for o in zip(hs, colors):
    pprint(o)
    print()

p.show()
p.save(f'sample10.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

$ ./sample10.py
10.
(sin(x), red)

⎛        ⎛       │   2 ⎞                ⎞
⎜ 3  ┌─  ⎜  1    │ -x  ⎟                ⎟
⎜x ⋅ ├─  ⎜       │ ────⎟                ⎟
⎜   1╵ 2 ⎝2, 5/2 │  4  ⎠                ⎟
⎜─────────────────────── + sin(x), green⎟
⎝           6                           ⎠

⎛          ⎛       │   2 ⎞               ⎞
⎜   5  ┌─  ⎜  1    │ -x  ⎟               ⎟
⎜  x ⋅ ├─  ⎜       │ ────⎟               ⎟
⎜     1╵ 2 ⎝3, 7/2 │  4  ⎠               ⎟
⎜- ─────────────────────── + sin(x), blue⎟
⎝            120                         ⎠

⎛        ⎛       │   2 ⎞                ⎞
⎜ 7  ┌─  ⎜  1    │ -x  ⎟                ⎟
⎜x ⋅ ├─  ⎜       │ ────⎟                ⎟
⎜   1╵ 2 ⎝4, 9/2 │  4  ⎠                ⎟
⎜─────────────────────── + sin(x), brown⎟
⎝          5040                         ⎠

⎛          ⎛        │   2 ⎞                 ⎞
⎜   9  ┌─  ⎜   1    │ -x  ⎟                 ⎟
⎜  x ⋅ ├─  ⎜        │ ────⎟                 ⎟
⎜     1╵ 2 ⎝5, 11/2 │  4  ⎠                 ⎟
⎜- ──────────────────────── + sin(x), orange⎟
⎝           362880                          ⎠

(cos(x), purple)

⎛        ⎛       │   2 ⎞               ⎞
⎜ 2  ┌─  ⎜  1    │ -x  ⎟               ⎟
⎜x ⋅ ├─  ⎜       │ ────⎟               ⎟
⎜   1╵ 2 ⎝3/2, 2 │  4  ⎠               ⎟
⎜─────────────────────── + cos(x), pink⎟
⎝           2                          ⎠

⎛          ⎛       │   2 ⎞               ⎞
⎜   4  ┌─  ⎜  1    │ -x  ⎟               ⎟
⎜  x ⋅ ├─  ⎜       │ ────⎟               ⎟
⎜     1╵ 2 ⎝5/2, 3 │  4  ⎠               ⎟
⎜- ─────────────────────── + cos(x), gray⎟
⎝             24                         ⎠

⎛        ⎛       │   2 ⎞                  ⎞
⎜ 6  ┌─  ⎜  1    │ -x  ⎟                  ⎟
⎜x ⋅ ├─  ⎜       │ ────⎟                  ⎟
⎜   1╵ 2 ⎝7/2, 4 │  4  ⎠                  ⎟
⎜─────────────────────── + cos(x), skyblue⎟
⎝          720                            ⎠

⎛          ⎛       │   2 ⎞                 ⎞
⎜   8  ┌─  ⎜  1    │ -x  ⎟                 ⎟
⎜  x ⋅ ├─  ⎜       │ ────⎟                 ⎟
⎜     1╵ 2 ⎝9/2, 5 │  4  ⎠                 ⎟
⎜- ─────────────────────── + cos(x), yellow⎟
⎝           40320                          ⎠

$ 

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