2019年9月20日金曜日

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.4(三角関数(続き)、逆三角関数)、問題9の解答を求めてみる。


  1. f x = sin x - x - x 3 3 ! f ' x = cos x - 1 + x 2 2 f 2 x = - sin x + x f 3 x = - cos x + 1 0 f 2 0 = 0 f 2 x 0 f ' 0 = 0 f ' x 0 f 0 = 0 f x 0 0 < x < 1 f 3 x > 0 f 2 x > 0 f ' x > 0 f x > 0 x > 0 f x > 0

    ゆえに、

    x - x 3 3 ! < sin x

    また、

    f x = x - sin x f ' x = 1 - cos x 0 f 0 = 0 0 < x < 1 f ' x > 0 x > 0 f x > 0

    よって、

    sin x < x

    ゆえに、

    x - x 3 3 ! < sin x < x

    もう1つ の不等式について。

    f x = cos x - 1 - x 2 2 ! f ' x = - sin x + x f 2 x = - cos x + 1 0 f ' 0 = 0 f ' x 0 0 < x < 1 f 2 x > 0 f ' x > 0 f 0 = 0 f x > 0 x > 0 1 - x 2 2 ! < cos x 1

    (証明終)

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sin, cos, factorial, plot

print('9.')

x = symbols('x')
fs = [x - x ** 3 / factorial(3),
      sin(x),
      x,
      1 - x ** 2 / factorial(2),
      cos(x),
      1]

p = plot(*fs,
         (x, 0, 5),
         ylim=(-2.5, 2.5),
         show=False,
         legend=True)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save(f'sample9')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample9.py
9.

C:\Users\...>

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