## 2019年9月20日金曜日

### 数学 - Python - 解析学 - 各種の初等関数 - 三角関数(続き)、逆三角関数 - 正弦と余弦、不等式の証明、微分、増減

1. $\begin{array}{l}f\left(x\right)=\mathrm{sin}x-\left(x-\frac{{x}^{3}}{3!}\right)\\ f\text{'}\left(x\right)=\mathrm{cos}x-1+\frac{{x}^{2}}{2}\\ {f}^{\left(2\right)}\left(x\right)=-\mathrm{sin}x+x\\ {f}^{\left(3\right)}\left(x\right)=-\mathrm{cos}x+1\ge 0\\ {f}^{\left(2\right)}\left(0\right)=0\\ {f}^{\left(2\right)}\left(x\right)\ge 0\\ f\text{'}\left(0\right)=0\\ f\text{'}\left(x\right)\ge 0\\ f\left(0\right)=0\\ f\left(x\right)\ge 0\\ 00\\ {f}^{\left(2\right)}\left(x\right)>0\\ f\text{'}\left(x\right)>0\\ f\left(x\right)>0\\ x>0\\ f\left(x\right)>0\end{array}$

ゆえに、

$x-\frac{{x}^{3}}{3!}<\mathrm{sin}x$

また、

$\begin{array}{l}f\left(x\right)=x-\mathrm{sin}x\\ f\text{'}\left(x\right)=1-\mathrm{cos}x\ge 0\\ f\left(0\right)=0\\ 00\\ x>0\\ f\left(x\right)>0\end{array}$

よって、

$\mathrm{sin}x

ゆえに、

$x-\frac{{x}^{3}}{3!}<\mathrm{sin}x

もう1つ の不等式について。

$\begin{array}{l}f\left(x\right)=\mathrm{cos}x-\left(1-\frac{{x}^{2}}{2!}\right)\\ f\text{'}\left(x\right)=-\mathrm{sin}x+x\\ {f}^{\left(2\right)}\left(x\right)=-\mathrm{cos}x+1\ge 0\\ f\text{'}\left(0\right)=0\\ f\text{'}\left(x\right)\ge 0\\ 00\\ f\text{'}\left(x\right)>0\\ f\left(0\right)=0\\ f\left(x\right)>0\\ x>0\\ 1-\frac{{x}^{2}}{2!}<\mathrm{cos}x\le 1\end{array}$

（証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sin, cos, factorial, plot

print('9.')

x = symbols('x')
fs = [x - x ** 3 / factorial(3),
sin(x),
x,
1 - x ** 2 / factorial(2),
cos(x),
1]

p = plot(*fs,
(x, 0, 5),
ylim=(-2.5, 2.5),
show=False,
legend=True)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
o.line_color = color

p.show()
p.save(f'sample9')


C:\Users\...>py sample9.py
9.

C:\Users\...>