数学 - Python - 解析学 - 各種の初等関数 - 三角関数(続き)、逆三角関数 - 正弦と余弦、指数関数、微分、等式

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解析入門(上) (松坂和夫数学入門シリーズ 4) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.4(三角関数(続き)、逆三角関数)、問題3の解答を求めてみる。

$\begin{array}{l} \frac{d}{dx} (A e^{a x} \cos (b x) + B e^{a x} \sin (b x)) \\ = a e^{a x} (A \cos (b x) + B \sin (b x)) \\ + e^{a x} (- A b \sin (b x) + B b \cos (b x)) \\ = e^{a x} ((B a - A b) \sin (b x) + (A a + B b) \cos (b x)) \\ {\begin{cases} - A b + B a = 0 \\ A a + B b = 1 \end{cases} \\ {\begin{cases} - A a b + B a^{2} = 0 \\ A a b + B b^{2} = b \end{cases} \\ B (a^{2} + b^{2}) = b \\ B = \frac{b}{a^{2} + b^{2}} \\ - A b + \frac{a b}{a^{2} + b^{2}} = 0 \\ A = \frac{a}{a^{2} + b^{2}} \end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, product, sin, cos, exp, solve, Derivative

print('3.')

a, b = symbols('a, b', nonzero=True)
A, B, x = symbols('A, B, x')
f = A * exp(a * x) * cos(b * x) + B * exp(a * x) * sin(b * x)
g = exp(a * x) * cos(b * x)
df = Derivative(f, x, 1).doit()

for o in [df, solve(df - g, A, B, dict=True)]:
    pprint(o)
    print()

d = {A: a / (a ** 2 + b ** 2), B: b / (a ** 2 + b ** 2)}
left = df.subs(d)
right = g.subs(d)

for o in [left, right, left.factor() == right.factor()]:
    pprint(o)
    print()

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample3.py
3.
     a⋅x                 a⋅x                 a⋅x                 a⋅x         
A⋅a⋅ℯ   ⋅cos(b⋅x) - A⋅b⋅ℯ   ⋅sin(b⋅x) + B⋅a⋅ℯ   ⋅sin(b⋅x) + B⋅b⋅ℯ   ⋅cos(b⋅x)

⎡⎧   -B⋅a⋅sin(b⋅x) - B⋅b⋅cos(b⋅x) + cos(b⋅x)⎫⎤
⎢⎨A: ───────────────────────────────────────⎬⎥
⎣⎩           a⋅cos(b⋅x) - b⋅sin(b⋅x)        ⎭⎦

 2  a⋅x             2  a⋅x         
a ⋅ℯ   ⋅cos(b⋅x)   b ⋅ℯ   ⋅cos(b⋅x)
──────────────── + ────────────────
     2    2             2    2     
    a  + b             a  + b      

 a⋅x         
ℯ   ⋅cos(b⋅x)

True


C:\Users\...>

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2019年9月14日土曜日

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