数学 - Python - 解析学 - 級数 - 絶対収束と交代級数の収束 - 累乗(べき乗、平方と立方)、収束するが絶対収束しない場合

学習環境

解析入門原書第3版 (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、5(絶対収束と交代級数の収束)の練習問題16を求めてみる。

$\begin{array}{l} \sum |{(- 1)}^{n + 1} \frac{n^{2} + 2}{n^{3} + n - 1}| \\ = \sum \frac{n^{2} + 2}{n^{3} + n - 1} \\ \frac{n^{2} + 2}{n^{3} + n - 1} \\ \geq \frac{1}{2} \frac{n^{2}}{n^{3}} \\ = \frac{1}{2} \frac{1}{n} \end{array}$
よって、
$\sum \frac{1}{2} \frac{1}{n}$
は発散するので絶対収束しない。
交代級数で
$\begin{array}{l} \lim_{n \to 0} \frac{n^{2} + 2}{n^{3} + n - 1} = 0 \\ |a_{n + 1}| \leq |a_{n}| \end{array}$
となるので収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, plot, root
import matplotlib.pyplot as plt

print('16.')

n = symbols('n')
f = (-1) ** (n + 1) * (n ** 2 + 2) / (n ** 3 + n - 1)
s1 = summation(f, (n, 1, oo))
s2 = summation(abs(f), (n, 1, oo))
for o in [s1, s2]:
    pprint(o)
    print()


def g(m):
    return sum([f.subs({n: n0}) for n0 in range(1, m)])


def h(m):
    return sum([abs(f.subs({n: n0})) for n0 in range(1, m)])


p = plot(f, abs(f),
         (n, 1, 11),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample16.png')

ms = range(1, 11)
plt.plot(ms, [g(m) for m in ms],
         ms, [h(m) for m in ms],
         ms, [f.subs({n: m}) for m in ms])
plt.legend(['Σ (-1)^(n+1) * (n^2 + 2)/(n^3 + n - 1)',
            'Σ |(-1)^(n+1) * (n^2 + 2)/(n^3 + n - 1)|',
            '(-1)^(n+1) * (n^2 + 2)/(n^3 + n - 1)',
            '|(-1)^(n+1) * (n^2 + 2)/(n^3 + n - 1)|'])
plt.savefig('sample16.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample16.py
16.
  ∞                     
_____                   
╲                       
 ╲        n + 1 ⎛ 2    ⎞
  ╲   (-1)     ⋅⎝n  + 2⎠
   ╲  ──────────────────
   ╱       3            
  ╱       n  + n - 1    
 ╱                      
╱                       
‾‾‾‾‾                   
n = 1                   

  ∞                         
_____                       
╲                           
 ╲              │   2      │
  ╲    -π⋅im(n) │  n  + 2  │
   ╲  ℯ        ⋅│──────────│
   ╱            │ 3        │
  ╱             │n  + n - 1│
 ╱                          
╱                           
‾‾‾‾‾                       
n = 1                       


c:\Users\...>

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2019年9月14日土曜日

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