数学 - Python - 解析学 - 各種の初等関数 - 三角関数(続き)、逆三角関数 - 正弦と余弦、2倍角、積、極限

解析入門(上)
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学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.4(三角関数(続き)、逆三角関数)、問題2の解答を求めてみる。

2. 
   
   $\begin{array}{l}\sin \theta =2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}\\ \cos \frac{\theta }{2}=\frac{\sin \theta }{2\sin \frac{\theta }{2}}\\ \sin \frac{\theta }{2}=2\sin \frac{\theta }{2^2}\cos \frac{\theta }{2^2}\\ \cos \frac{\theta }{2^2}=\frac{\sin \frac{\theta }{2}}{2\sin \frac{\theta }{2^2}}\\ ⋮\\ \cos \frac{\theta }{2^n}=\frac{\sin \frac{\theta }{2^{n-1}}}{2\sin \frac{\theta }{2^n}}\end{array}$

   よって、

   $\begin{array}{l}\cos \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2^2}\cos \frac{\theta }{2^3}\dots \cos \frac{\theta }{2^n}\\ =\frac{\sin \theta }{2^n\sin \frac{\theta }{2^n}}\\ =\frac{\sin \theta }{\theta }·\frac{\theta }{2^n\sin \frac{\theta }{2^n}}\\ =\frac{\sin \theta }{\theta }·\frac{\frac{\theta }{2^n}}{\sin \frac{\theta }{2^n}}\end{array}$

   ゆえに、

   $\prod _{n=1}^{\infty }\cos \frac{\theta }{2^n}=\frac{\sin \theta }{\theta }$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, product, sin, cos, oo, plot
import matplotlib.pyplot as plt

print('2.')

n, theta = symbols('n, θ')
f = cos(theta / 2 ** n)
p = product(f, (n, 1, oo))

f1 = f.subs({theta: 1})
p1 = product(f1, (n, 1, oo))
for o in [p, p1]:
    pprint(o)
    print()

p = plot(sin(1),
         show=False,
         legend=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color


p.show()
p.save('sample2.png')


def h(m):
    return product(f1, (n, 1, m))


ms = range(1, 11)
plt.plot(ms, [h(m) for m in ms])
plt.legend(['∏ cos θ/2^n'])
plt.savefig('sample2.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample2.py
2.
  ∞              
─┬──┬─           
 │  │     ⎛ -n  ⎞
 │  │  cos⎝2  ⋅θ⎠
 │  │            
n = 1            

  ∞            
─┬──┬─         
 │  │     ⎛ -n⎞
 │  │  cos⎝2  ⎠
 │  │          
n = 1          


C:\Users\...>