数学 - Python - 解析学 - 各種の初等関数 - 三角関数 - 正弦、最短時間、最短経路

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫数学入門シリーズ 4) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.3(三角関数)、問題12の解答を求めてみる。

$P_{1}, P_{2}, X$
の座標をそれぞれ
$(0, a), (b, c), (x, 0)$
とおく。
このとき経路を通る時間は、
$f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} + a^{2}}}{v_{1}} + \frac{\sqrt{{(b - x)}^{2} + c^{2}}}{v_{2}}$
微分。
$\begin{array}{l} f' (x) \\ = \frac{x}{v_{1} \sqrt{x^{2} + a^{2}}} - \frac{b - x}{v_{2} \sqrt{{(b - x)}^{2} + c^{2}}} \end{array}$
問題のなす角の定め方により、
$\begin{array}{l} \sin θ_{1} = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} \\ \sin θ_{2} = \frac{b - x}{\sqrt{{(b - x)}^{2} + c^{2}}} \end{array}$
よって、
$f' (x) = \frac{\sin θ_{1}}{v_{1}} - \frac{\sin θ_{2}}{v_{2}}$
また、
$\begin{array}{l} 0 < θ_{1} < \frac{π}{2} \\ 0 < θ_{2} < \frac{π}{2} \end{array}$
なので、
$\frac{\sin θ_{1}}{v_{1}} = \frac{\sin θ_{2}}{v_{2}}$
のとき
$f' (x) = 0$
また、
$θ_{1}, θ_{2}$
はそれぞれ単調増加、単調減少である。
また、
$\begin{array}{l} f' (0) < 0 \\ f' (b) > 0 \end{array}$
よって、
$\frac{\sin θ_{1}}{v_{1}} = \frac{\sin θ_{2}}{v_{2}}$
のとき最短時間で、点 A はただ1つ存在する。
（証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sqrt, Derivative, solve, plot

print('12.')

x = symbols('x', real=True)
v1 = 1
v2 = 2
a = 3
b = 4
c = -2
f = sqrt(x ** 2 + a ** 2) / v1 + sqrt((b - x) ** 2 + c ** 2) / v2
g = Derivative(f, x, 1)
h = g.doit()
for o in [g, h]:
    pprint(o)
    print()

for x0 in solve(h):
    if 0 < x0 < b:
        for o in [x0, float(x0)]:
            pprint(o)
            print()

p = plot(f,
         (x, 0, b),
         show=False,
         legend=True)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample12.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample12.py
12.
  ⎛                 ______________⎞
  ⎜   ________     ╱        2     ⎟
d ⎜  ╱  2        ╲╱  (4 - x)  + 4 ⎟
──⎜╲╱  x  + 9  + ─────────────────⎟
dx⎝                      2        ⎠

     x               x - 4       
─────────── + ───────────────────
   ________        ______________
  ╱  2            ╱        2     
╲╱  x  + 9    2⋅╲╱  (4 - x)  + 4 

                                                                              
                                                                              
                                                                              
                                                                              
          ________________________________________________________________    
         ╱                                           ____________________     
        ╱              3025               34        ╱ 4⋅√352999   539623      
       ╱   ──────────────────────────── + ── + 2⋅3 ╱  ───────── + ──────      
      ╱            ____________________   9      ╲╱       27       5832       
     ╱            ╱ 4⋅√352999   539623                                        
    ╱      162⋅3 ╱  ───────── + ──────                                        
  ╲╱           ╲╱       27       5832                                        ╲
- ──────────────────────────────────────────────────────────────────────── + ─
                                     2                                        

           ___________________________________________________________________
          ╱         ____________________                                      
         ╱         ╱ 4⋅√352999   539623                3025               68  
        ╱   - 2⋅3 ╱  ───────── + ──────  - ──────────────────────────── + ── +
       ╱        ╲╱       27       5832             ____________________   9   
      ╱                                           ╱ 4⋅√352999   539623        
     ╱                                     162⋅3 ╱  ───────── + ──────        
    ╱                                          ╲╱       27       5832         
   ╱                                                                          
  ╱                                                                           
 ╱                                                                            
╱                                                                             
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
                                                                            2 

____________________________________________________________________________  
                                                                              
                                    200                                       
 ──────────────────────────────────────────────────────────────────────────   
           ________________________________________________________________   
          ╱                                           ____________________    
         ╱              3025               34        ╱ 4⋅√352999   539623     
 3⋅     ╱   ──────────────────────────── + ── + 2⋅3 ╱  ───────── + ──────     
       ╱            ____________________   9      ╲╱       27       5832      
      ╱            ╱ 4⋅√352999   539623                                       
     ╱      162⋅3 ╱  ───────── + ──────                                       
   ╲╱           ╲╱       27       5832                                        
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────── +
                                                                              

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
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2019年9月5日木曜日

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