数学 - Python - 解析学 - 級数 - べき級数 - 逆数、係数、累乗根、収束半径、絶対値、極限、逆数

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、6(べき級数)の練習問題11を求めてみる。

11. 
    
    $\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{1}{n}\right)}^{\frac{1}{n}}\\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^{\frac{1}{n}}}\\ =1\end{array}$

    よって、収束半径は1。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, Limit, plot, Rational

print('11.')

n, m, x = symbols('n, m, x')
an = 1 / n
f = summation(an * x ** n, (n, 1, m))

s = Limit(abs(an) ** (1 / n), n, oo)

for o in [s, s.doit(), 1 / s.doit(), f.subs({m: oo})]:
    pprint(o)
    print()

ms = range(1, 11)
# fs = [f.subs({m: m0}) for m0 in ms]


def g(m):
    return sum([an.subs({n: m}) * x ** m for m in range(1, m)])


fs = [g(m) for m in ms]

p = plot(*fs,
         (x, -2, 2),
         ylim=(-2, 2),
         legend=False,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

for o in zip(fs, colors):
    pprint(o)
    print()

p.show()
p.save('sample11.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

$ ./sample11.py
11.
        _____
       ╱ │1│ 
lim n ╱  │─│ 
n─→∞╲╱   │n│ 

1

1

⎧   ∞                                            
⎪- x ⋅Φ(x, 1, ∞) - log(1 - x)  for x ≥ -1 ∧ x < 1
⎪                                                
⎪            ∞                                   
⎪           ____                                 
⎪           ╲                                    
⎨            ╲    n                              
⎪             ╲  x                               
⎪             ╱  ──                otherwise     
⎪            ╱   n                               
⎪           ╱                                    
⎪           ‾‾‾‾                                 
⎩          n = 1                                 

(0, red)

(x, green)

⎛ 2          ⎞
⎜x           ⎟
⎜── + x, blue⎟
⎝2           ⎠

⎛ 3    2           ⎞
⎜x    x            ⎟
⎜── + ── + x, brown⎟
⎝3    2            ⎠

⎛ 4    3    2            ⎞
⎜x    x    x             ⎟
⎜── + ── + ── + x, orange⎟
⎝4    3    2             ⎠

⎛ 5    4    3    2            ⎞
⎜x    x    x    x             ⎟
⎜── + ── + ── + ── + x, purple⎟
⎝5    4    3    2             ⎠

⎛ 6    5    4    3    2          ⎞
⎜x    x    x    x    x           ⎟
⎜── + ── + ── + ── + ── + x, pink⎟
⎝6    5    4    3    2           ⎠

⎛ 7    6    5    4    3    2          ⎞
⎜x    x    x    x    x    x           ⎟
⎜── + ── + ── + ── + ── + ── + x, gray⎟
⎝7    6    5    4    3    2           ⎠

⎛ 8    7    6    5    4    3    2             ⎞
⎜x    x    x    x    x    x    x              ⎟
⎜── + ── + ── + ── + ── + ── + ── + x, skyblue⎟
⎝8    7    6    5    4    3    2              ⎠

⎛ 9    8    7    6    5    4    3    2            ⎞
⎜x    x    x    x    x    x    x    x             ⎟
⎜── + ── + ── + ── + ── + ── + ── + ── + x, yellow⎟
⎝9    8    7    6    5    4    3    2             ⎠

$