## 2019年9月22日日曜日

### 数学 - Python - 解析学 - 級数 - べき級数 - 収束半径、累乗(平方)、累乗根、交代級数、絶対値、極限

1. $\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{\mathrm{lim}}{\left|\frac{{\left(-1\right)}^{n}}{{n}^{2}+1}\right|}^{\frac{1}{n}}\\ =\underset{n\to \infty }{\mathrm{lim}}\frac{1}{{\left({n}^{2}+1\right)}^{\frac{1}{n}}}\\ =1\end{array}$

よって、 収束半径は1。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, Limit, plot

print('3.')

n, m, x = symbols('n, m, x')
an = (-1) ** n / (n ** 2 + 1)
f = summation(an * x ** n, (n, 0, m))

s = Limit(abs(an) ** (1 / n), n, oo)

for o in [s, s.doit(), 1 / s.doit()]:
pprint(o)
print()

ms = range(10)
fs = [f.subs({m: m0}) for m0 in ms]
p = plot(*fs,
(x, -5, 5),
ylim=(-5, 5),
legend=False,
show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for s, color in zip(p, colors):
s.line_color = color

for o in zip(fs, colors):
pprint(o)

p.show()
p.save('sample3.png')


$./sample3.py 3. ____________________ ╱ -π⋅im(n) │ 1 │ lim ╱ ℯ ⋅│──────│ n─→∞n ╱ │ 2 │ ╲╱ │n + 1│ 1 1 ⎛ 0 ⎞ ⎜_____ ⎟ ⎜╲ ⎟ ⎜ ╲ n n ⎟ ⎜ ╲ (-1) ⋅x ⎟ ⎜ ╲ ──────── ⎟ ⎜ ╱ 2 , red⎟ ⎜ ╱ n + 1 ⎟ ⎜ ╱ ⎟ ⎜╱ ⎟ ⎜‾‾‾‾‾ ⎟ ⎝n = 0 ⎠ ⎛ 1 ⎞ ⎜_____ ⎟ ⎜╲ ⎟ ⎜ ╲ n n ⎟ ⎜ ╲ (-1) ⋅x ⎟ ⎜ ╲ ──────── ⎟ ⎜ ╱ 2 , green⎟ ⎜ ╱ n + 1 ⎟ ⎜ ╱ ⎟ ⎜╱ ⎟ ⎜‾‾‾‾‾ ⎟ ⎝n = 0 ⎠ ⎛ 2 ⎞ ⎜_____ ⎟ ⎜╲ ⎟ ⎜ ╲ n n ⎟ ⎜ ╲ (-1) ⋅x ⎟ ⎜ ╲ ──────── ⎟ ⎜ ╱ 2 , blue⎟ ⎜ ╱ n + 1 ⎟ ⎜ ╱ ⎟ ⎜╱ ⎟ ⎜‾‾‾‾‾ ⎟ ⎝n = 0 ⎠ ⎛ 3 ⎞ ⎜_____ ⎟ ⎜╲ ⎟ ⎜ ╲ n n ⎟ ⎜ ╲ (-1) ⋅x ⎟ ⎜ ╲ ──────── ⎟ ⎜ ╱ 2 , brown⎟ ⎜ ╱ n + 1 ⎟ ⎜ ╱ ⎟ ⎜╱ ⎟ ⎜‾‾‾‾‾ ⎟ ⎝n = 0 ⎠ ⎛ 4 ⎞ ⎜_____ ⎟ ⎜╲ ⎟ ⎜ ╲ n n ⎟ ⎜ ╲ (-1) ⋅x ⎟ ⎜ ╲ ──────── ⎟ ⎜ ╱ 2 , orange⎟ ⎜ ╱ n + 1 ⎟ ⎜ ╱ ⎟ ⎜╱ ⎟ ⎜‾‾‾‾‾ ⎟ ⎝n = 0 ⎠ ⎛ 5 ⎞ ⎜_____ ⎟ ⎜╲ ⎟ ⎜ ╲ n n ⎟ ⎜ ╲ (-1) ⋅x ⎟ ⎜ ╲ ──────── ⎟ ⎜ ╱ 2 , purple⎟ ⎜ ╱ n + 1 ⎟ ⎜ ╱ ⎟ ⎜╱ ⎟ ⎜‾‾‾‾‾ ⎟ ⎝n = 0 ⎠ ⎛ 6 ⎞ ⎜_____ ⎟ ⎜╲ ⎟ ⎜ ╲ n n ⎟ ⎜ ╲ (-1) ⋅x ⎟ ⎜ ╲ ──────── ⎟ ⎜ ╱ 2 , pink⎟ ⎜ ╱ n + 1 ⎟ ⎜ ╱ ⎟ ⎜╱ ⎟ ⎜‾‾‾‾‾ ⎟ ⎝n = 0 ⎠ ⎛ 7 ⎞ ⎜_____ ⎟ ⎜╲ ⎟ ⎜ ╲ n n ⎟ ⎜ ╲ (-1) ⋅x ⎟ ⎜ ╲ ──────── ⎟ ⎜ ╱ 2 , gray⎟ ⎜ ╱ n + 1 ⎟ ⎜ ╱ ⎟ ⎜╱ ⎟ ⎜‾‾‾‾‾ ⎟ ⎝n = 0 ⎠ ⎛ 8 ⎞ ⎜_____ ⎟ ⎜╲ ⎟ ⎜ ╲ n n ⎟ ⎜ ╲ (-1) ⋅x ⎟ ⎜ ╲ ──────── ⎟ ⎜ ╱ 2 , skyblue⎟ ⎜ ╱ n + 1 ⎟ ⎜ ╱ ⎟ ⎜╱ ⎟ ⎜‾‾‾‾‾ ⎟ ⎝n = 0 ⎠ ⎛ 9 ⎞ ⎜_____ ⎟ ⎜╲ ⎟ ⎜ ╲ n n ⎟ ⎜ ╲ (-1) ⋅x ⎟ ⎜ ╲ ──────── ⎟ ⎜ ╱ 2 , yellow⎟ ⎜ ╱ n + 1 ⎟ ⎜ ╱ ⎟ ⎜╱ ⎟ ⎜‾‾‾‾‾ ⎟ ⎝n = 0 ⎠$