数学 - Python - 解析学 - 級数 - べき級数 - 収束半径、累乗(平方)、累乗根、交代級数、絶対値、極限

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、6(べき級数)の練習問題3を求めてみる。

3. 
   
   $\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{\lim }{\left|\frac{{\left(-1\right)}^n}{n^2+1}\right|}^{\frac{1}{n}}\\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{{\left(n^2+1\right)}^{\frac{1}{n}}}\\ =1\end{array}$

   よって、 収束半径は1。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, Limit, plot

print('3.')

n, m, x = symbols('n, m, x')
an = (-1) ** n / (n ** 2 + 1)
f = summation(an * x ** n, (n, 0, m))

s = Limit(abs(an) ** (1 / n), n, oo)

for o in [s, s.doit(), 1 / s.doit()]:
    pprint(o)
    print()

ms = range(10)
fs = [f.subs({m: m0}) for m0 in ms]
p = plot(*fs,
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=False,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

for o in zip(fs, colors):
    pprint(o)

p.show()
p.save('sample3.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

$ ./sample3.py
3.
         ____________________
        ╱  -π⋅im(n) │  1   │ 
lim    ╱  ℯ        ⋅│──────│ 
n─→∞n ╱             │ 2    │ 
    ╲╱              │n  + 1│ 

1

1

⎛  0                ⎞
⎜_____              ⎟
⎜╲                  ⎟
⎜ ╲        n  n     ⎟
⎜  ╲   (-1) ⋅x      ⎟
⎜   ╲  ────────     ⎟
⎜   ╱    2     , red⎟
⎜  ╱    n  + 1      ⎟
⎜ ╱                 ⎟
⎜╱                  ⎟
⎜‾‾‾‾‾              ⎟
⎝n = 0              ⎠
⎛  1                  ⎞
⎜_____                ⎟
⎜╲                    ⎟
⎜ ╲        n  n       ⎟
⎜  ╲   (-1) ⋅x        ⎟
⎜   ╲  ────────       ⎟
⎜   ╱    2     , green⎟
⎜  ╱    n  + 1        ⎟
⎜ ╱                   ⎟
⎜╱                    ⎟
⎜‾‾‾‾‾                ⎟
⎝n = 0                ⎠
⎛  2                 ⎞
⎜_____               ⎟
⎜╲                   ⎟
⎜ ╲        n  n      ⎟
⎜  ╲   (-1) ⋅x       ⎟
⎜   ╲  ────────      ⎟
⎜   ╱    2     , blue⎟
⎜  ╱    n  + 1       ⎟
⎜ ╱                  ⎟
⎜╱                   ⎟
⎜‾‾‾‾‾               ⎟
⎝n = 0               ⎠
⎛  3                  ⎞
⎜_____                ⎟
⎜╲                    ⎟
⎜ ╲        n  n       ⎟
⎜  ╲   (-1) ⋅x        ⎟
⎜   ╲  ────────       ⎟
⎜   ╱    2     , brown⎟
⎜  ╱    n  + 1        ⎟
⎜ ╱                   ⎟
⎜╱                    ⎟
⎜‾‾‾‾‾                ⎟
⎝n = 0                ⎠
⎛  4                   ⎞
⎜_____                 ⎟
⎜╲                     ⎟
⎜ ╲        n  n        ⎟
⎜  ╲   (-1) ⋅x         ⎟
⎜   ╲  ────────        ⎟
⎜   ╱    2     , orange⎟
⎜  ╱    n  + 1         ⎟
⎜ ╱                    ⎟
⎜╱                     ⎟
⎜‾‾‾‾‾                 ⎟
⎝n = 0                 ⎠
⎛  5                   ⎞
⎜_____                 ⎟
⎜╲                     ⎟
⎜ ╲        n  n        ⎟
⎜  ╲   (-1) ⋅x         ⎟
⎜   ╲  ────────        ⎟
⎜   ╱    2     , purple⎟
⎜  ╱    n  + 1         ⎟
⎜ ╱                    ⎟
⎜╱                     ⎟
⎜‾‾‾‾‾                 ⎟
⎝n = 0                 ⎠
⎛  6                 ⎞
⎜_____               ⎟
⎜╲                   ⎟
⎜ ╲        n  n      ⎟
⎜  ╲   (-1) ⋅x       ⎟
⎜   ╲  ────────      ⎟
⎜   ╱    2     , pink⎟
⎜  ╱    n  + 1       ⎟
⎜ ╱                  ⎟
⎜╱                   ⎟
⎜‾‾‾‾‾               ⎟
⎝n = 0               ⎠
⎛  7                 ⎞
⎜_____               ⎟
⎜╲                   ⎟
⎜ ╲        n  n      ⎟
⎜  ╲   (-1) ⋅x       ⎟
⎜   ╲  ────────      ⎟
⎜   ╱    2     , gray⎟
⎜  ╱    n  + 1       ⎟
⎜ ╱                  ⎟
⎜╱                   ⎟
⎜‾‾‾‾‾               ⎟
⎝n = 0               ⎠
⎛  8                    ⎞
⎜_____                  ⎟
⎜╲                      ⎟
⎜ ╲        n  n         ⎟
⎜  ╲   (-1) ⋅x          ⎟
⎜   ╲  ────────         ⎟
⎜   ╱    2     , skyblue⎟
⎜  ╱    n  + 1          ⎟
⎜ ╱                     ⎟
⎜╱                      ⎟
⎜‾‾‾‾‾                  ⎟
⎝n = 0                  ⎠
⎛  9                   ⎞
⎜_____                 ⎟
⎜╲                     ⎟
⎜ ╲        n  n        ⎟
⎜  ╲   (-1) ⋅x         ⎟
⎜   ╲  ────────        ⎟
⎜   ╱    2     , yellow⎟
⎜  ╱    n  + 1         ⎟
⎜ ╱                    ⎟
⎜╱                     ⎟
⎜‾‾‾‾‾                 ⎟
⎝n = 0                 ⎠
$