数学 - Python - 線形代数学 - 多項式と行列 - 特性多項式 - 対角行列、固有値

ラング線形代数学(下)
原著
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ラング線形代数学(下) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の9章(多項式と行列)、4(特性多項式)、練習問題1の解答を求めてみる。

1. 
   
   1. 
      

      特性多項式。

      $f\left(t\right)=\underset{i=1}{\overset{n}{\prod \; <!--\; n-ary\; product\; -->}}\left(t-a_i\right)$
   2. 
      

      固有値。

      $\begin{array}{l}{a}_i\\ \left(i=1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,n\right)\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix

print('1.')

n = 4


def f(i, j):
    if i == j:
        return symbols(f'a{i}')
    return 0


def g(i, j):
    if i == j:
        return 1
    return 0


t = symbols('t')
A = Matrix([[f(i, j) for j in range(1, n + 1)]
            for i in range(1, n + 1)])
I = Matrix([[g(i, j) for j in range(1, n + 1)]
            for i in range(1, n + 1)])
for o in [A, t * I - A, (t * I - A).det().factor()]:
    pprint(o)
    print()

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample1.py
1.
⎡a₁  0   0   0 ⎤
⎢              ⎥
⎢0   a₂  0   0 ⎥
⎢              ⎥
⎢0   0   a₃  0 ⎥
⎢              ⎥
⎣0   0   0   a₄⎦

⎡-a₁ + t     0        0        0   ⎤
⎢                                  ⎥
⎢   0     -a₂ + t     0        0   ⎥
⎢                                  ⎥
⎢   0        0     -a₃ + t     0   ⎥
⎢                                  ⎥
⎣   0        0        0     -a₄ + t⎦

(-a₁ + t)⋅(-a₂ + t)⋅(-a₃ + t)⋅(-a₄ + t)


C:\Users\...>