数学 - Python - 解析学 - 各種の初等関数 - 累乗関数、大きさの比較 - 累乗(べき乗、平方)、指数関数、積、対数関数、逆数、グラフの概形、微分、極値、変曲点、増減表

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.2(累乗関数、大きさの比較)、問題3の解答を求めてみる。

3. 
   
   1. 
      
      $\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)\\ =2x{e}^{-x}-x^2{e}^{-x}\\ =x{e}^{-x}\left(2-x\right)\\ f\text{'}\text{'}\left(x\right)\\ =2e^{-x}-2x{e}^{-x}-2x{e}^{-x}+x^2{e}^{-x}\\ =e^{-x}\left(2-4x+x^2\right)\\ =e^{-x}\left(x^2-4x+2\right)\\ x^2-4x+2=0\\ x=2\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{4-2}\\ =2\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{2}\end{array}$

      よって、求める関数のグラフの概形は、
   2. 
      
      $\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)\\ =\frac{1}{x^2}\left(\frac{1}{x}·\; <!--\; middle\; dot\; -->x-\log x\right)\\ =\frac{1-\log x}{x^2}\\ f\text{'}\text{'}\left(x\right)\\ =\frac{-\frac{1}{x}·\; <!--\; middle\; dot\; -->x^2-\left(1-\log x\right)2x}{x^4}\\ =\frac{-x-2x+2x\log x}{x^4}\\ =\frac{-3x+2x\log x}{x^4}\\ =\frac{x\left(2\log x-3\right)}{x^4}\\ 1-\log x=0\\ x=e\\ 2\log x-3=0\\ \log x=\frac{3}{2}\\ x=e^{\frac{3}{2}}\end{array}$

      よって、求める関数のグラフの概形は、
   3. 
      
      $\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)\\ =-\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}\\ f\text{'}\text{'}\left(x\right)\\ =-\frac{-\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}·\; <!--\; middle\; dot\; -->x^2-e^{\frac{1}{x}}·\; <!--\; middle\; dot\; -->2x}{x^4}\\ =\frac{e^{\frac{1}{x}}+e^{\frac{1}{x}}2x}{x^4}\\ =\frac{e^{\frac{1}{x}}\left(1+2x\right)}{x^4}\end{array}$

      よって、求める関数のグラフの概形は、

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, exp, log, solve, Derivative

print('3.')

x = symbols('x', real=True)
fs = [x ** 2 * exp(-x),
      log(x) / x,
      exp(1 / x)]

for i, f in enumerate(fs, 1):
    print(f'({i})')
    for n in range(3):
        df = Derivative(f, x, n)
        for o in [df, df.doit(), solve(df.doit())]:
            pprint(o)
            print()
    print()

p = plot((fs[0], (x, -10, 10)),
         (fs[1], (x, 0.1, 10)),
         (fs[2], (x, -10, -0.1)),
         (fs[2], (x, 0.1, 10)),
         ylim=(-10, 10),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample3.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample3.py
3.
(1)
 2  -x
x ⋅ℯ  

 2  -x
x ⋅ℯ  

[0]

d ⎛ 2  -x⎞
──⎝x ⋅ℯ  ⎠
dx        

   2  -x        -x
- x ⋅ℯ   + 2⋅x⋅ℯ  

[0, 2]

  2        
 d ⎛ 2  -x⎞
───⎝x ⋅ℯ  ⎠
  2        
dx         

⎛ 2          ⎞  -x
⎝x  - 4⋅x + 2⎠⋅ℯ  

[2 - √2, √2 + 2]


(2)
log(x)
──────
  x   

log(x)
──────
  x   

[1]

d ⎛log(x)⎞
──⎜──────⎟
dx⎝  x   ⎠

  log(x)   1 
- ────── + ──
     2      2
    x      x 

[ℯ]

  2        
 d ⎛log(x)⎞
───⎜──────⎟
  2⎝  x   ⎠
dx         

2⋅log(x) - 3
────────────
      3     
     x      

⎡ 3/2⎤
⎣ℯ   ⎦


(3)
 1
 ─
 x
ℯ 

 1
 ─
 x
ℯ 

[]

  ⎛ 1⎞
  ⎜ ─⎟
d ⎜ x⎟
──⎝ℯ ⎠
dx    

  1 
  ─ 
  x 
-ℯ  
────
  2 
 x  

[]

   ⎛ 1⎞
  2⎜ ─⎟
 d ⎜ x⎟
───⎝ℯ ⎠
  2    
dx     

         1
         ─
⎛    1⎞  x
⎜2 + ─⎟⋅ℯ 
⎝    x⎠   
──────────
     3    
    x     

[-1/2]



C:\Users\...>