2019年8月8日木曜日

学習環境

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、3(比による判定法)の練習問題16を求めてみる。


  1. a n + 1 a n = n + 1 5 e - n + 1 2 n 5 e - n 2 = 1 + 1 n 5 1 e 2 n + 1 2 5 e 2 n n 3 a n + 1 a n 2 5 e 6 < 1

    よって、問題の無限級数は収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, summation, oo, exp, Limit
import matplotlib.pyplot as plt

print('16.')

n = symbols('n', integer=True)
s = summation(n ** 5 * exp(-n ** 2), (n, 1, oo))
l = Limit((n + 1) ** 5 * exp(-(n + 1) ** 2) / (n ** 5 * exp(-n ** 2)), n, oo)

for o in [s, l, l.doit()]:
    pprint(o)
    print()


def f(n):
    return sum([k ** 5 * exp(-k ** 2) for k in range(2, n + 1)])


ns = range(1, 20)
plt.plot(ns, [f(n) for n in ns],
         ns, [(n + 1) ** 5 * exp(-(n + 1) ** 2) / (n ** 5 * exp(-n ** 2))
              for n in ns],
         ns, [2 ** 5 / exp(6) for _ in ns])

plt.legend(['Σ n^5e^(-n^2)', 'a_(n+1) / a_n', 2 ** 5 / exp(6)])
plt.savefig('sample16.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample16.py
16.
  ∞          
 ____        
 ╲           
  ╲         2
   ╲   5  -n 
   ╱  n ⋅ℯ   
  ╱          
 ╱           
 ‾‾‾‾        
n = 1        

    ⎛          ⎛ 2⎞          2⎞
    ⎜       5  ⎝n ⎠  -(n + 1) ⎟
    ⎜(n + 1) ⋅ℯ    ⋅ℯ         ⎟
lim ⎜─────────────────────────⎟
n─→∞⎜             5           ⎟
    ⎝            n            ⎠

1


c:\Users\...>

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