数学 - Python - 解析学 - 各種の初等関数 - 累乗関数、大きさの比較 - 対数関数、凹関数、狭義単調増加、不等式

解析入門(上)
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学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.2(累乗関数、大きさの比較)、問題5の解答を求めてみる。

5. 
   

   対数関数は凹関数なので、

   $\begin{array}{l}\log \left({\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1{a}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_n{a}_n\right)\\ \ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1\log a_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_n\log a_n\\ =\log a_1^{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1}+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+\log a_n^{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_n}\\ =\log \left(a_1^{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1}\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->a_n^{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_n}\right)\end{array}$

   また、対数関数は狭義単調増加なので

   ${\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1{a}_1+\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->+{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_n{a}_n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->a_1^{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_1}\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->a_n^{{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}_n}$

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, log
from sympy.plotting import plot3d

print('5.')

alpha = 0.4
beta = 0.6
a, b = symbols('a, b')
f = alpha * a + beta * b
g = a ** alpha * b ** beta
for h in [f, g]:
    pprint(h)
    print()

p = plot3d(f, g, f - g,
           (a, 0.1, 5),
           (b, 0.1, 5),
           show=False)
p.xlabel = a
p.ylabel = b
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample5.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample5.py
5.
0.4⋅a + 0.6⋅b

 0.4  0.6
a   ⋅b   


C:\Users\...>