2019年8月28日水曜日

学習環境

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、4(積分による判定法)の練習問題13を求めてみる。


  1. 1 x log x 1 + ε dx = log x log x 1 + ε - log x · - 1 log x 2 1 + ε 1 + ε log x ε · 1 x dx = 1 log x ε + 1 + ε 1 x log x 1 + ε dx - ε 1 x log x 1 + ε dx = 1 log x ε 1 x log x 1 + ε = - 1 ε log x ε

    よって、

    lim b 2 b 1 x log x 1 + ε dx = lim b - 1 ε 1 log x ε 2 b = - 1 ε lim b 1 log b ε - 1 log 2 ε = 1 ε log 2 ε

    ゆえに、 問題の無限級数は収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, Integral, plot, log
import matplotlib.pyplot as plt

print('13.')

n = symbols('n')
epsilon = 2
f = 1 / (n * log(n) ** (1 + epsilon))
s = summation(f, (n, 2, oo))
I = Integral(f, (n, 2, oo))

for o in [s, I, I.doit()]:
    pprint(o)
    print()

p = plot(f,
         (n, 2, 12),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']


for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample13.png')


def g(m):
    return sum([f.subs({n: k}) for k in range(2, m)])


ms = range(2, 12)
plt.plot(ms, [g(m) for m in ms])
plt.legend(['Σ 1 / n(log n) ^ (1+ε)', '1 / n(log n)^(1+ε)'])
plt.savefig('sample13.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample12.py
13.
  ∞            
 ____          
 ╲             
  ╲       1    
   ╲  ─────────
   ╱       3   
  ╱   n⋅log (n)
 ╱             
 ‾‾‾‾          
n = 2          

∞             
⌠             
⎮     1       
⎮ ───────── dn
⎮      3      
⎮ n⋅log (n)   
⌡             
2             

    1    
─────────
     2   
2⋅log (2)


c:\Users\...>

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