数学 - Python - 解析学 - 級数 - 積分による判定法 - 対数関数の累乗(べき乗)、累乗(べき乗)、逆数、収束、部分積分方

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、4(積分による判定法)の練習問題13を求めてみる。

13. 
    
    $\begin{array}{l}\int \; <!--\; integral\; -->\frac{1}{x{\left(\log x\right)}^{1+\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}}\mathrm{dx}\\ =\frac{\log x}{{\left(\log x\right)}^{1+\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}}-\int \; <!--\; integral\; -->\left(\log x\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{-1}{{\left(\log x\right)}^{2\left(1+\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\right)}}\left(1+\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\right){\left(\log x\right)}^{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{x}\mathrm{dx}\\ =\frac{1}{{\left(\log x\right)}^{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}}+\left(1+\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\right)\int \; <!--\; integral\; -->\frac{1}{x{\left(\log x\right)}^{1+\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}}\mathrm{dx}\\ -\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}\int \; <!--\; integral\; -->\frac{1}{x{\left(\log x\right)}^{1+\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}}\mathrm{dx}=\frac{1}{{\left(\log x\right)}^{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}}\\ \int \; <!--\; integral\; -->\frac{1}{x{\left(\log x\right)}^{1+\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}}=-\frac{1}{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}{\left(\log x\right)}^{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}}\end{array}$

    よって、

    $\begin{array}{l}\underset{b\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }{\int \; <!--\; integral\; -->}_2^b\frac{1}{x{\left(\log x\right)}^{1+\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}}\mathrm{dx}\\ =\underset{b\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\left(-\frac{1}{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}{\left[\frac{1}{{\left(\log x\right)}^{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}}\right]}_2^b\right)\\ =-\frac{1}{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}\underset{b\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\left(\frac{1}{{\left(\log b\right)}^{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}}-\frac{1}{{\left(\log 2\right)}^{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}}\right)\\ =\frac{1}{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}{\left(\log 2\right)}^{\mathrm{\epsilon \; <!--\; greek\; small\; letter\; epsilon\; -->}}}\end{array}$

    ゆえに、 問題の無限級数は収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, Integral, plot, log
import matplotlib.pyplot as plt

print('13.')

n = symbols('n')
epsilon = 2
f = 1 / (n * log(n) ** (1 + epsilon))
s = summation(f, (n, 2, oo))
I = Integral(f, (n, 2, oo))

for o in [s, I, I.doit()]:
    pprint(o)
    print()

p = plot(f,
         (n, 2, 12),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']


for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample13.png')


def g(m):
    return sum([f.subs({n: k}) for k in range(2, m)])


ms = range(2, 12)
plt.plot(ms, [g(m) for m in ms])
plt.legend(['Σ 1 / n(log n) ^ (1+ε)', '1 / n(log n)^(1+ε)'])
plt.savefig('sample13.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample12.py
13.
  ∞            
 ____          
 ╲             
  ╲       1    
   ╲  ─────────
   ╱       3   
  ╱   n⋅log (n)
 ╱             
 ‾‾‾‾          
n = 2          

∞             
⌠             
⎮     1       
⎮ ───────── dn
⎮      3      
⎮ n⋅log (n)   
⌡             
2             

    1    
─────────
     2   
2⋅log (2)


c:\Users\...>