数学 - Python - 解析学 - 級数 - 比による判定法 - 累乗(べき乗、平方、立方)、指数関数、逆数、積、極限、収束

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、3(比による判定法)の練習問題15を求めてみる。

15. 
    
    $\begin{array}{l}\frac{a_{n+1}}{a_n}\\ =\frac{{\left(n+1\right)}^2{e}^{-{\left(n+1\right)}^3}}{n^2{e}^{-n^3}}\\ ={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^2\frac{1}{e^{{\left(n+1\right)}^3-n^3}}\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{2}{e^{3n^2+3n+1}}\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{2}{e^7}\\ <1\end{array}$

    よって、問題の無限級数は収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, summation, oo, exp, Limit
import matplotlib.pyplot as plt

print('15.')

n = symbols('n', integer=True)
s = summation(n ** 2 * exp(-n ** 3), (n, 1, oo))
l = Limit((n + 1) ** 2 * exp(-(n + 1) ** 3) / (n ** 2 * exp(-n ** 3)), n, oo)

for o in [s, l, l.doit()]:
    pprint(o)
    print()


def f(n):
    return sum([k ** 2 * exp(-k ** 3) for k in range(2, n + 1)])


ns = range(1, 20)
plt.plot(ns, [f(n) for n in ns],
         ns, [(n + 1) ** 2 * exp(-(n + 1) ** 3) / (n ** 2 * exp(-n ** 3))
              for n in ns],
         ns, [2 / exp(7) for _ in ns])

plt.legend(['Σ n^2e^(-n^3)', 'a_(n+2) / a_n', 2 / exp(7)])
plt.savefig('sample15.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample15.py
15.
  ∞          
 ____        
 ╲           
  ╲         3
   ╲   2  -n 
   ╱  n ⋅ℯ   
  ╱          
 ╱           
 ‾‾‾‾        
n = 1        

    ⎛          ⎛ 3⎞          3⎞
    ⎜       2  ⎝n ⎠  -(n + 1) ⎟
    ⎜(n + 1) ⋅ℯ    ⋅ℯ         ⎟
lim ⎜─────────────────────────⎟
n─→∞⎜             2           ⎟
    ⎝            n            ⎠

1


c:\Users\...>