数学 - Python - 解析学 - 級数 - 比による判定法 - 累乗(べき乗)、指数関数、逆数、積、極限、収束

学習環境

解析入門原書第3版 (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、3(比による判定法)の練習問題17を求めてみる。

$\begin{array}{l} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \\ = \frac{{(n + 1)}^{4} e^{- (n + 1)}}{n^{4} e^{- n}} \\ = {(1 + \frac{1}{n})}^{4} \frac{1}{e} \end{array}$

ある N が存在して n が N より大きいならば、

$\begin{array}{l} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \\ \leq \frac{2}{e} \\ < 1 \end{array}$

よって、問題の無限級数は収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, summation, oo, exp, Limit
import matplotlib.pyplot as plt

print('17.')

n = symbols('n', integer=True)
s = summation(n ** 4 * exp(-n), (n, 1, oo))
l = Limit((n + 1) ** 4 * exp(-(n + 1)) / (n ** 4 * exp(-n)), n, oo)

for o in [s, l, l.doit()]:
    pprint(o)
    print()


def f(n):
    return sum([k ** 4 * exp(-k) for k in range(2, n + 1)])


ns = range(1, 20)
plt.plot(ns, [f(n) for n in ns],
         ns, [(n + 1) ** 4 * exp(-(n + 1)) / (n ** 4 * exp(-n))
              for n in ns],
         ns, [2 / exp(1) for _ in ns])

plt.legend(['Σ n^4 e^(-n)', 'a_(n+1) / a_n', 2 / exp(1)])
plt.savefig('sample17.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample17.py
17.
   ⎛ -3           -2       -1⎞  -1    
   ⎝ℯ   + 1 + 11⋅ℯ   + 11⋅ℯ  ⎠⋅ℯ      
──────────────────────────────────────
         2                            
⎛     -1⎞  ⎛     -1    -3      -2    ⎞
⎝1 - ℯ  ⎠ ⋅⎝- 3⋅ℯ   - ℯ   + 3⋅ℯ   + 1⎠

    ⎛       4  n  -n - 1⎞
    ⎜(n + 1) ⋅ℯ ⋅ℯ      ⎟
lim ⎜───────────────────⎟
n─→∞⎜          4        ⎟
    ⎝         n         ⎠

 -1
ℯ  


c:\Users\...>

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2019年8月9日金曜日

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