2019年8月9日金曜日

学習環境

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、3(比による判定法)の練習問題17を求めてみる。


  1. a n + 1 a n = n + 1 4 e - n + 1 n 4 e - n = 1 + 1 n 4 1 e

    ある N が存在して n が N より大きいならば、

    a n + 1 a n 2 e < 1

    よって、問題の無限級数は収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, summation, oo, exp, Limit
import matplotlib.pyplot as plt

print('17.')

n = symbols('n', integer=True)
s = summation(n ** 4 * exp(-n), (n, 1, oo))
l = Limit((n + 1) ** 4 * exp(-(n + 1)) / (n ** 4 * exp(-n)), n, oo)

for o in [s, l, l.doit()]:
    pprint(o)
    print()


def f(n):
    return sum([k ** 4 * exp(-k) for k in range(2, n + 1)])


ns = range(1, 20)
plt.plot(ns, [f(n) for n in ns],
         ns, [(n + 1) ** 4 * exp(-(n + 1)) / (n ** 4 * exp(-n))
              for n in ns],
         ns, [2 / exp(1) for _ in ns])

plt.legend(['Σ n^4 e^(-n)', 'a_(n+1) / a_n', 2 / exp(1)])
plt.savefig('sample17.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample17.py
17.
   ⎛ -3           -2       -1⎞  -1    
   ⎝ℯ   + 1 + 11⋅ℯ   + 11⋅ℯ  ⎠⋅ℯ      
──────────────────────────────────────
         2                            
⎛     -1⎞  ⎛     -1    -3      -2    ⎞
⎝1 - ℯ  ⎠ ⋅⎝- 3⋅ℯ   - ℯ   + 3⋅ℯ   + 1⎠

    ⎛       4  n  -n - 1⎞
    ⎜(n + 1) ⋅ℯ ⋅ℯ      ⎟
lim ⎜───────────────────⎟
n─→∞⎜          4        ⎟
    ⎝         n         ⎠

 -1
ℯ  


c:\Users\...>

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