数学 - 線形代数学 - 多項式と行列 - 固有ベクトルと固有値 - 多項式の根

ラング線形代数学(下)
原著
楽天ブックス Yahoo!

学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

ラング線形代数学(下) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の9章(多項式と行列)、3(固有ベクトルと固有値)、練習問題1の解答を求めてみる。

1. 
   

   固有値を求める。

   $\begin{array}{l}\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}ax+by\\ cx+\mathrm{dy}\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{c}ax+by\\ cx+\mathrm{dy}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}x\\ \mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}y\end{array}\right]\\ ax+by=\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}x\\ cx+\mathrm{dy}=\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}y\end{array}$

   よって、

   $\begin{array}{l}x\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0\wedge \; <!--\; logical\; and\; -->y\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0\\ \left(\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}-a\right)\left(\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}-d\right)-bc\\ =\frac{1}{xy}\left(\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}x-ax\right)\left(\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}y-\mathrm{dy}\right)-bc\\ =\frac{1}{xy}bycx-bc\\ =0\\ x=0\wedge \; <!--\; logical\; and\; -->y\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0\\ by=0\\ b=0\\ \mathrm{dy}=\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}y\\ d=\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}\\ \left(\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}-a\right)\left(\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}-d\right)-bc\\ =\left(\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}-\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}\right)\left(\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}-\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}\right)\\ =0\\ x\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0\wedge \; <!--\; logical\; and\; -->y=0\\ ax=\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}x\\ a=\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}\\ cx=0\\ c=0\\ \left(\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}-a\right)\left(\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}-d\right)-bc\\ =\left(\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}-\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}\right)\left(\mathrm{\lambda \; <!--\; greek\; small\; letter\; lambda\; -->}-d\right)\\ =0\end{array}$

   よって問題の行列の固有値は、問題の多項式の根である。