数学 - Python - 解析学 - 各種の初等関数 - 累乗関数、大きさの比較 - 指数関数、大きさの程度、極限

解析入門(上)
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  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.2(累乗関数、大きさの比較)、問題1の解答を求めてみる。

1. 
   
   $\frac{1}{r}=a$

   とおくと、

   $a>1$

   このとき、 x を連続的変数とし

   $y=x\log a$

   とおく。

   このとき、

   $\begin{array}{l}{e}^y=a^x\\ \frac{x^{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}}{a^x}\\ ={\left(\frac{y}{\log a}\right)}^{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{1}{e^y}\\ =\frac{1}{\log a}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{y^x}{e^y}\end{array}$

   よって、

   $\underset{y\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\frac{x^{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}}{a^x}=0$

   また、

   $y\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}\Leftarrow \; <!--\; leftwards\; double\; arrow\; -->>x\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}$

   よって、

   $\begin{array}{l}\underset{x\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\frac{x^{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}}{a^x}=0\\ \underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }\frac{n^{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}}{a^n}=0\\ \underset{n\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}}{\lim }{n}^{\mathrm{\alpha \; <!--\; greek\; small\; letter\; alpha\; -->}}{r}^n=0\end{array}$

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, Limit, oo

print('1.')

r = 0.5
n, alpha = symbols('n, α')

f = n ** alpha * r ** n
l = Limit(f, n, oo)
for o in [f, l, l.doit()]:
    pprint(o)
    print()

fs = [f.subs({alpha: a}) for a in [-5, -1, -0.5, 0, 0.5, 1, 5]]
p = plot(*fs,
         (n, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample1.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample1.py
1.
   n  α
0.5 ⋅n 

    ⎛   n  α⎞
lim ⎝0.5 ⋅n ⎠
n─→∞         

0


C:\Users\...>