数学 - Python - 解析学 - 級数 - 比による判定法 - 対数関数、逆数、発散

学習環境

解析入門原書第3版 (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、3(比による判定法)の練習問題13を求めてみる。

$\begin{array}{l} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \\ = \frac{{(\log n)}^{10}}{{(\log (n + 1))}^{10}} \\ = {(\frac{\log n}{\log (n + 1)})}^{10} \\ \frac{\frac{d}{d n} \log n}{\frac{d}{d n} \log (n + 1)} \\ = \frac{n + 1}{n} \\ = 1 + \frac{1}{n} \end{array}$

よって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{\log n}{\log (n + 1)} = 1$

ゆえに、

$\begin{array}{l} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} < c \\ 0 < c < 1 \end{array}$

を満たす c は存在しないので、問題の無限級数は発散する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, summation, oo, log, Limit
import matplotlib.pyplot as plt

print('13.')

n = symbols('n', integer=True)
s = summation(1 / log(n) ** 10, (n, 2, oo))
l = Limit(log(n) ** 10 / log(n + 1) ** 10, n, oo)

for o in [s, l, l.doit()]:
    pprint(o)
    print()


def f(n):
    return sum([1 / log(k) ** 10 for k in range(2, n + 1)])


ns = range(2, 20)
plt.plot(ns, [f(n) for n in ns],
         ns, [log(n) ** 10 / log(n + 1) ** 10 for n in ns],
         ns, [1 for _ in ns])

plt.legend(['Σ 1 / log n', 'an + 1 / an', 1])
plt.savefig('sample13.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample13.py
13.
  ∞           
 ____         
 ╲            
  ╲      1    
   ╲  ────────
   ╱     10   
  ╱   log  (n)
 ╱            
 ‾‾‾‾         
n = 2         

    ⎛     10     ⎞
    ⎜  log  (n)  ⎟
lim ⎜────────────⎟
n─→∞⎜   10       ⎟
    ⎝log  (n + 1)⎠

1


c:\Users\...>

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