数学 - Ptyon - 解析学 - 級数 - 積分による判定法 - 対数関数、逆数、積、発散

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
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• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、4(積分による判定法)の練習問題1を求めてみる。

1. 
   
   $\begin{array}{l}{\int \; <!--\; integral\; -->}_2^b\frac{1}{x\log x}\mathrm{dx}\\ ={\left[\log \left(\log x\right)\right]}_2^b\\ =\log \left(\log b\right)-\log \left(\log 2\right)\\ b\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}\Rightarrow \; <!--\; rightwards\; double\; arrow\; -->{\int \; <!--\; integral\; -->}_2^b\frac{1}{x\log x}\mathrm{dx}\to \; <!--\; rightwards\; arrow\; -->\mathrm{\infty \; <!--\; infinity\; -->}\end{array}$

   よって、問題の無限級数は発散する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, summation, oo, plot, log, Integral

print('1.')

n, x = symbols('n, x')
s = summation(1 / (n * log(n)), (n, 2, oo))
f = 1 / (x * log(x))
I = Integral(f, (x, 2, oo))
for o in [s, I, I.doit()]:
    pprint(o)
    print()

p = plot(f,
         (x, 2, 12),
         legend=True,
         show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample1.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample1.py
1.
  ∞           
 ____         
 ╲            
  ╲      1    
   ╲  ────────
   ╱  n⋅log(n)
  ╱           
 ╱            
 ‾‾‾‾         
n = 2         

∞            
⌠            
⎮    1       
⎮ ──────── dx
⎮ x⋅log(x)   
⌡            
2            

∞


c:\Users\...>