数学 - 解析学 - ルベーグ積分 - 外測度 - 和集合、差集合、不等式、零

はじめてのルベーグ積分
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はじめてのルベーグ積分 (寺澤 順(著)、日本評論社)の第3章(外測度)、問題6の解答を求めてみる。

6. 
   

   補題3.4と問題の仮定より、

   $\begin{array}{l}{\mathrm{\mu \; <!--\; micro\; sign\; -->}}^{*}\left(S\cup \; <!--\; union\; -->T\right)\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->{\mathrm{\mu \; <!--\; micro\; sign\; -->}}^{*}\left(S\right)+{\mathrm{\mu \; <!--\; micro\; sign\; -->}}^{*}\left(T\right)\\ ={\mathrm{\mu \; <!--\; micro\; sign\; -->}}^{*}\left(T\right)\\ {\mathrm{\mu \; <!--\; micro\; sign\; -->}}^{*}\left(S\cup \; <!--\; union\; -->T\right)\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->{\mathrm{\mu \; <!--\; micro\; sign\; -->}}^{*}\left(T\right)\\ {\mathrm{\mu \; <!--\; micro\; sign\; -->}}^{*}\left(SUT\right)={\mathrm{\mu \; <!--\; micro\; sign\; -->}}^{*}\left(T\right)\end{array}$

   また、

   $\begin{array}{l}{\mathrm{\mu \; <!--\; micro\; sign\; -->}}^{*}\left(T\right)\\ ={\mathrm{\mu \; <!--\; micro\; sign\; -->}}^{*}\left(\left(T\backslash S\right)\cup \; <!--\; union\; -->\left(T\cap \; <!--\; intersection\; -->S\right)\right)\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->{\mathrm{\mu \; <!--\; micro\; sign\; -->}}^{*}\left(T\backslash S\right)+{\mathrm{\mu \; <!--\; micro\; sign\; -->}}^{*}\left(T\cap \; <!--\; intersection\; -->S\right)\end{array}$

   問題の仮定より、

   ${\mathrm{\mu \; <!--\; micro\; sign\; -->}}^{*}\left(T\cap \; <!--\; intersection\; -->S\right)=0$

   よって、

   ${\mathrm{\mu \; <!--\; micro\; sign\; -->}}^{*}\left(T\right)\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->{\mathrm{\mu \; <!--\; micro\; sign\; -->}}^{*}\left(T\backslash S\right)$

   また、

   ${\mathrm{\mu \; <!--\; micro\; sign\; -->}}^{*}\left(T\right)\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->{\mathrm{\mu \; <!--\; micro\; sign\; -->}}^{*}\left(T\backslash S\right)$

   よって、

   ${\mathrm{\mu \; <!--\; micro\; sign\; -->}}^{*}\left(T\right)={\mathrm{\mu \; <!--\; micro\; sign\; -->}}^{*}\left(T\backslash S\right)$

   ゆえに、

   ${\mathrm{\mu \; <!--\; micro\; sign\; -->}}^{*}\left(S\right)=0$

   のとき、

   ${\mathrm{\mu \; <!--\; micro\; sign\; -->}}^{*}\left(S\cup \; <!--\; union\; -->T\right)={\mathrm{\mu \; <!--\; micro\; sign\; -->}}^{*}\left(T\backslash S\right)={\mathrm{\mu \; <!--\; micro\; sign\; -->}}^{*}\left(T\right)$

   が成り立つ。

   （証明終）