2019年7月6日土曜日

学習環境

新装版 数学読本2 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第6章(図形と和也式の関係 - 平面図形と式)、6.2(平面における直線)、三角形の1つの性質の問18の解答を求めてみる。


  1. 直線 BC と x 軸、 BC の中点を原点とする座標を考える。

    三角形の3頂点 ABC の座標をそれぞれ、

    A = a , b B = - c , 0 C = c , 0

    とおく。

    このとき、 線分 BC の中点 L の座標は、

    L = 0 , 0

    線分 AC の中点 M の座標は、

    M = a + c 2 , b 2

    線分 AB の中点 N の座標は、

    N = a - c 2 , b 2

    直線 AB の傾きは、

    b a + c

    よって辺 AB の垂直二等分線の傾きは、

    b a + c · m = - 1 m = - a + c b

    ゆえに 垂直二等分線の方程式は

    y - b 2 = - a + c b x - a - c 2

    この直線と y 軸、すなわち辺 BC の垂直二等分線の交点は、

    y - b 2 = a 2 - c 2 2 b y = a 2 - c 2 2 b + b 2 = a 2 + b 2 - c 2 2 b 0 , a 2 + b 2 - c 2 2 b

    直線 AC の傾きは

    b a - c

    よって、 辺 AC の垂直二等分線の傾きは、

    m · b a - c = - 1 m = c - a b

    ゆえに、辺 AC の垂直二等分線の方程式は、

    y - b 2 = c - a b x - a + c 2

    との直線と y 軸、すなわち辺 BC の垂直二等分線との交点は、

    y = a 2 - c 2 2 b + b 2 = a 2 + b 2 - c 2 2 b 2 0 , a 2 + b 2 - c 2 2 b 2

    よって、 三角形 ABC の各辺の垂直二等分線は同一の点で交わる。

    (証明終)

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