数学 - Python - 解析学 - 微分法 - 関数の凹凸 - 一次導関数、二次導関数、関数の増減、極値、変曲点、グラフの描画

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫数学入門シリーズ 4) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第4章(微分法)、4.3(関数の凹凸)、問題3の解答を求めてみる。

$\begin{array}{l} f' (x) = \frac{2 (1 + x^{2}) - 2 x \cdot 2 x}{{(1 + x^{2})}^{2}} \\ = \frac{2 (1 - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{2}} \\ f^{(2)} (x) = \frac{- 4 x {(1 + x^{2})}^{2} - 2 (1 - x^{2}) 2 (1 + x^{2}) 2 x}{{(1 + x^{2})}^{4}} \\ = \frac{- 4 x (1 + x^{2}) - 8 x (1 - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}} \\ = \frac{- 4 x (1 + x^{2} + 2 - 2 x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}} \\ = \frac{- 4 x (3 - x^{2})}{{(1 + x^{2})}^{3}} \end{array}$

増減表。

グラつの描画。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, solve, plot, Derivative
import random

print('3.')
x = symbols('x')
f = 2 * x / (1 + x ** 2)
fs = [Derivative(f, x, n) for n in range(3)]
for g in fs:
    for o in [g, g.doit().factor(), solve(g.doit())]:
        pprint(o)
        print()
p = plot(*[g.doit() for g in fs],
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample3.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample3.py
3.
 2⋅x  
──────
 2    
x  + 1

 2⋅x  
──────
 2    
x  + 1

[0]

d ⎛ 2⋅x  ⎞
──⎜──────⎟
dx⎜ 2    ⎟
  ⎝x  + 1⎠

-2⋅(x - 1)⋅(x + 1) 
───────────────────
             2     
     ⎛ 2    ⎞      
     ⎝x  + 1⎠      

[-1, 1]

  2        
 d ⎛ 2⋅x  ⎞
───⎜──────⎟
  2⎜ 2    ⎟
dx ⎝x  + 1⎠

    ⎛ 2    ⎞
4⋅x⋅⎝x  - 3⎠
────────────
         3  
 ⎛ 2    ⎞   
 ⎝x  + 1⎠   

[0, -√3, √3]


C:\Users\...>

Kamimura's blog

2019年7月6日土曜日

数学 - Python - 解析学 - 微分法 - 関数の凹凸 - 一次導関数、二次導関数、関数の増減、極値、変曲点、グラフの描画

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