数学 - Python - 線形代数学 - 行列と双線形写像 - 2次形式 - 体K上の有限次元ベクトル空間、対称双線形形式の値の完全な決定

ラング線形代数学(下)
原著
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ラング線形代数学(下) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の8章(行列と双線形写像)、2(2次形式)、練習問題4の解答を求めてみる。

4. 
   
   1. 
      
      $\begin{array}{l}\frac{1}{4}\left(f\left(\left(x_1,x_2\right)+\left(y_1,y_2\right)\right)-f\left(\left(x_1,x_2\right)-\left(y_1,y_2\right)\right)\right)\\ =\frac{1}{4}\left(f\left(x_1+y_1,x_2+y_2\right)-f\left(x_1-y_1,x_2-y_2\right)\right)\\ =\frac{1}{4}\left(\left(x_1+y_1\right)\left(x_2+y_2\right)-\left(x_1-y_1\right)\left(x_2-y_2\right)\right)\\ =\frac{1}{4}\left(2x_1{y}_2+2x_2{y}_1\right)\\ =\frac{1}{2}\left(x_1{y}_2+x_2{y}_1\right)\end{array}$
   2. 
      
      $\begin{array}{l}g\left(X,Y\right)\\ =\frac{1}{4}\left(f\left(x_1+y_1,x_2+y_2,x_3+y_3,x_4+y_4\right)-f\left(x_1-y_1,x_2-y_2,x_3-y_3,x_4-y_4\right)\right)\\ =\frac{1}{4}\left(\left(x_1+y_1\right)\left(x_3+y_3\right)+{\left(x_4+y_4\right)}^2-\left(x_1-y_1\right)\left(x_3-y_3\right)-{\left(x_4-y_4\right)}^2\right)\\ =\frac{1}{4}\left(2x_1{y}_3+2x_3{y}_1+4x_4{y}_4\right)\\ =\frac{1}{2}\left(x_1{y}_3+x_3{y}_1\right)+x_4{y}_4\end{array}$
   3. 
      
      $\begin{array}{l}\frac{1}{4}\left(2\left(x_1+y_1\right)\left(x_2+y_2\right)-\left(x_3+y_3\right)\left(x_4+y_4\right)-2\left(x_1-y_1\right)\left(x_2-y_2\right)+\left(x_3-y_3\right)\left(x_4-y_4\right)\right)\\ =\frac{1}{4}\left(4x_1{y}_2+4x_2{y}_1-2x_3{y}_4-2x_4{y}_3\right)\\ =x_1{x}_2+x_2{y}_1-\frac{1}{2}\left(x_3{y}_4+x_4{y}_3\right)\end{array}$
   4. 
      
      $\begin{array}{l}\frac{1}{4}\left({\left(x_1+y_1\right)}^2-{\left(x_1-y_1\right)}^2-5\left(\left(x_2+y_2\right)\left(x_3+y_3\right)-\left(x_2-y_2\right)\left(x_3-y_3\right)\right)+{\left(x_4+y_4\right)}^2-{\left(x_4-y_4\right)}^2\right)\\ =\frac{1}{4}\left(4x_1{y}_1-5\left(2\left(x_2{y}_3+x_3{y}_2\right)\right)+4x_4{y}_4\right)\\ =x_1{y}_1-\frac{5}{2}\left(x_2{y}_3+x_3{y}_2\right)+x_4{y}_4\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix,  Rational

print('4.')


def g(f, v, w):
    return (f(v + w) - f(v - w)) / 4


def f1(x):
    return x[0] * x[1]


def f2(x):
    return x[0] * x[2] + x[3] ** 2


def f3(x):
    return 2 * x[0] * x[1] - x[2] * x[3]


def f4(x):
    return x[0] ** 2 - 5 * x[1] * x[2] + x[3] ** 2


fs = [f1, f2, f3, f4]
v = Matrix(symbols('x1, x2, x3, x4'))
w = Matrix(symbols('y1, y2, y3, y4'))

for i, f in enumerate(fs):
    print(f'({chr(ord("a")+ i)})')
    pprint(g(f, v, w).expand())
    print()

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample4.py
4.
(a)
x₁⋅y₂   x₂⋅y₁
───── + ─────
  2       2  

(b)
x₁⋅y₃   x₃⋅y₁        
───── + ───── + x₄⋅y₄
  2       2          

(c)
                x₃⋅y₄   x₄⋅y₃
x₁⋅y₂ + x₂⋅y₁ - ───── - ─────
                  2       2  

(d)
        5⋅x₂⋅y₃   5⋅x₃⋅y₂        
x₁⋅y₁ - ─────── - ─────── + x₄⋅y₄
           2         2           


C:\Users\...>