数学 - Python - 線形代数学 - 行列と双線形写像 - 2次形式 - 対応する行列

ラング線形代数学(下)
原著
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学習環境

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ラング線形代数学(下) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の8章(行列と双線形写像)、2(2次形式)、練習問題2の解答を求めてみる。

2. 
   

   求める行列と、

   $C=\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ b& e& f\\ c& f& i\end{array}\right]$

   とおく。

   このとき、

   $\begin{array}{l}{X}^{T}CX\\ =\left[x,y,z\right]\left[\begin{array}{ccc}a& b& c\\ b& e& f\\ c& f& i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]\\ =\left[ax+by+cz,bx+ey+fz,cx+fy+iz\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]\\ =a{x}^2+e{y}^2+i{z}^2+2bxy+2fyz+2czx\end{array}$

   よって、

   $\begin{array}{l}a=1\\ 2b=-3\\ c=0\\ e=4\\ f=0\\ i=0\\ b=-\frac{3}{2}\end{array}$

   ゆえに、求める問題の2次形式に対応する行列は、

   $\left[\begin{array}{ccc}1& -\frac{3}{2}& 0\\ -\frac{3}{2}& 4& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix,  Rational

print('2.')

C = Matrix([[1, -Rational(3, 2), 0],
            [-Rational(3, 2), 4, 0],
            [0, 0, 0]])
X = Matrix(symbols('x, y, z')).reshape(3, 1)

for o in [X, C, (X.T * C * X)[0]]:
    pprint(o.expand())
    print()

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample2.py
2.
⎡x⎤
⎢ ⎥
⎢y⎥
⎢ ⎥
⎣z⎦

⎡ 1    -3/2  0⎤
⎢             ⎥
⎢-3/2   4    0⎥
⎢             ⎥
⎣ 0     0    0⎦

 2              2
x  - 3⋅x⋅y + 4⋅y 


C:\Users\...>