数学 - Python - 解析学 - 各種の初等関数 - 対数関数・指数関数 - 直線、対数関数、微分、不等式

解析入門(上)
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  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.1(対数関数・指数関数)、問題9の解答を求めてみる。

9. 
   
   $\begin{array}{l}f\left(x\right)=e^x-\left(1+x\right)\\ f\text{'}\left(x\right)=e^x-1\end{array}$

   また、

   $\begin{array}{l}{e}^x-1=0\\ x=0\\ x<0\\ f\text{'}\left(x\right)<0\\ x>0\\ f\text{'}\left(x\right)>0\end{array}$

   よって、

   $\begin{array}{l}x<1,x\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0\\ f\left(x\right)>0\\ e^x-\left(1+x\right)>0\\ 1+x<e^x\end{array}$

   また、

   $g\left(x\right)=1-\left(1-x\right)e^x$

   とおくと、

   $\begin{array}{l}g\text{'}\left(x\right)=-e^x+e^x+x{e}^x\\ =x{e}^x\end{array}$

   よって、

   $\begin{array}{l}x=0\\ g\text{'}\left(x\right)=0\\ x<0\\ g\text{'}\left(x\right)<0\\ 0<x<1\\ g\text{'}\left(x\right)>0\\ g\left(0\right)=1-1=0\end{array}$

   ゆえに、

   $\begin{array}{l}x<1,x\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0\\ g\left(x\right)>0\\ 1-\left(1-x\right)e^x>0\\ \left(1-x\right)e^x<1\\ e^x<\frac{1}{1-x}\end{array}$

   よって

   $x<1,x\ne \; <!--\; not\; equal\; to\; -->0$

   ならば、問題の不等式、

   $1+x<e^x<\frac{1}{1-x}$

   が成り立つ。

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, Derivative, exp

print('9.')

x = symbols('x')
fs = [1 + x, exp(x), 1 / (1 - x)]

p = plot(*fs,
         (x, -2.5, 2.5),
         ylim=(0, 5),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample9.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample9.py
9.

C:\Users\...>