数学 - Python - 解析学 - 級数 - 比による判定法 - 累乗(べき乗)、指数関数、極限、収束

解析入門 原書第3版
原著
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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、3(比による判定法)の練習問題6を求めてみる。

6. 
   
   $\begin{array}{l}\frac{a_{n+1}}{a_n}\\ =\frac{{\left(n+1\right)}^{10}}{3^{n+1}}·\; <!--\; middle\; dot\; -->\frac{3^n}{n^{10}}\\ =\frac{1}{3}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{10}\end{array}$

   ある N が存在して、

   $n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->N$

   ならば、

   ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{10}<2$

   よって、

   $\frac{a_n+1}{a_n}<\frac{2}{3}<1$

   ゆえに、問題の無限級数は収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, summation, oo, log, Rational, Limit
import matplotlib.pyplot as plt

print('6.')

n = symbols('n', integer=True)
s = summation(n ** 10 / 3 ** n, (n, 1, oo))
l = Limit((n + 1) ** 10 / 3 ** (n + 1) * 3 ** n / n ** 10, n, oo)
for o in [s, l, l.doit()]:
    pprint(o)
    print()


def f(n):
    return sum([k ** 10 / 3 ** k for k in range(1, n + 1)])


ns = range(2, 20)
plt.plot(ns, [f(n) for n in ns],
         ns, [(n + 1) ** 10 / 3 ** (n + 1) * 3 ** n / n ** 10 for n in ns],
         ns, [s for _ in ns],
         ns, [Rational(2, 3) for _ in ns])

plt.legend(['Σ n^10 / 3^n', 'an+1 / an', s, Rational(2, 3)])
plt.savefig('sample6.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample6.py
6.
2579313/2

    ⎛ n  -n - 1        10⎞
    ⎜3 ⋅3      ⋅(n + 1)  ⎟
lim ⎜────────────────────⎟
n─→∞⎜         10         ⎟
    ⎝        n           ⎠

1/3


c:\Users\...>