2019年7月29日月曜日

学習環境

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、3(比による判定法)の練習問題6を求めてみる。


  1. a n + 1 a n = n + 1 10 3 n + 1 · 3 n n 10 = 1 3 1 + 1 n 10

    ある N が存在して、

    n N

    ならば、

    1 + 1 n 10 < 2

    よって、

    a n + 1 a n < 2 3 < 1

    ゆえに、問題の無限級数は収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, summation, oo, log, Rational, Limit
import matplotlib.pyplot as plt

print('6.')

n = symbols('n', integer=True)
s = summation(n ** 10 / 3 ** n, (n, 1, oo))
l = Limit((n + 1) ** 10 / 3 ** (n + 1) * 3 ** n / n ** 10, n, oo)
for o in [s, l, l.doit()]:
    pprint(o)
    print()


def f(n):
    return sum([k ** 10 / 3 ** k for k in range(1, n + 1)])


ns = range(2, 20)
plt.plot(ns, [f(n) for n in ns],
         ns, [(n + 1) ** 10 / 3 ** (n + 1) * 3 ** n / n ** 10 for n in ns],
         ns, [s for _ in ns],
         ns, [Rational(2, 3) for _ in ns])

plt.legend(['Σ n^10 / 3^n', 'an+1 / an', s, Rational(2, 3)])
plt.savefig('sample6.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample6.py
6.
2579313/2

    ⎛ n  -n - 1        10⎞
    ⎜3 ⋅3      ⋅(n + 1)  ⎟
lim ⎜────────────────────⎟
n─→∞⎜         10         ⎟
    ⎝        n           ⎠

1/3


c:\Users\...>

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