## 2019年7月21日日曜日

### 数学 - Python - 解析学 - 各種の初等関数 - 対数関数・指数関数 - 逆数、定数、不等式、微分、導関数、狭義単調増加

1. $\begin{array}{l}x>1\\ f\left(x\right)=x\mathrm{log}x-\left(x-1\right)\\ g\left(x\right)=\left(x-1\right)-\mathrm{log}x\end{array}$

とおく。

$\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=\mathrm{log}x+x·\frac{1}{x}-1\\ =\mathrm{log}x+1-1\\ =\mathrm{log}x\\ >0\end{array}$

よって狭義単調増加で、

$\mathrm{log}1=0$

より、

$\begin{array}{l}x>1\\ f\left(x\right)>0\\ x\mathrm{log}x-\left(x-1\right)>0\\ x\mathrm{log}x>x-1\\ \frac{\mathrm{log}x}{x-1}>\frac{1}{x}\end{array}$

また g について

$\begin{array}{l}x>1\\ g\text{'}\left(x\right)\\ =1-\frac{1}{x}\\ >0\end{array}$

よって g も f と同様に、

$\begin{array}{l}x-1>\mathrm{log}x\\ 1>\frac{\mathrm{log}x}{x-1}\end{array}$

ゆえに、

$\begin{array}{l}x>1\\ \frac{1}{x}<\frac{\mathrm{log}x}{x-1}<1\end{array}$

が成り立つ。

（証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, solve, plot, Derivative, log

print('3.')

a, x = symbols('a, x')
l = 1 / x
c = log(x) / (x - 1)
r = 1
f = x * log(x) - (x - 1)
g = (x - 1) - log(x)

for o in [f, g]:
d = Derivative(f, x, 1)
for o in [d, d.doit()]:
pprint(o)
print()

p = plot(l, c, r,
Derivative(f, x, 1).doit(),
Derivative(g, x, 1).doit(),
(x, 1.1, 5),
ylim=(0, 1),
legend=True,
show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
o.line_color = color

p.show()
p.save('sample3.png')


C:\Users\...>py sample3.py
3.
d
──(x⋅log(x) - x + 1)
dx

log(x)

d
──(x⋅log(x) - x + 1)
dx

log(x)

C:\Users\...>