2019年7月21日日曜日

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.1(対数関数・指数関数)、問題3の解答を求めてみる。


  1. x > 1 f x = x log x - x - 1 g x = x - 1 - log x

    とおく。

    f ' x = log x + x · 1 x - 1 = log x + 1 - 1 = log x > 0

    よって狭義単調増加で、

    log 1 = 0

    より、

    x > 1 f x > 0 x log x - x - 1 > 0 x log x > x - 1 log x x - 1 > 1 x

    また g について

    x > 1 g ' x = 1 - 1 x > 0

    よって g も f と同様に、

    x - 1 > log x 1 > log x x - 1

    ゆえに、

    x > 1 1 x < log x x - 1 < 1

    が成り立つ。

    (証明終)

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, solve, plot, Derivative, log

print('3.')


a, x = symbols('a, x')
l = 1 / x
c = log(x) / (x - 1)
r = 1
f = x * log(x) - (x - 1)
g = (x - 1) - log(x)


for o in [f, g]:
    d = Derivative(f, x, 1)
    for o in [d, d.doit()]:
        pprint(o)
        print()

p = plot(l, c, r,
         Derivative(f, x, 1).doit(),
         Derivative(g, x, 1).doit(),
         (x, 1.1, 5),
         ylim=(0, 1),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample3.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample3.py
3.
d                   
──(x⋅log(x) - x + 1)
dx                  

log(x)

d                   
──(x⋅log(x) - x + 1)
dx                  

log(x)


C:\Users\...>

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