数学 - Python - 解析学 - 各種の初等関数 - 対数関数・指数関数 - 指数関数、積、n階微分、帰納法

解析入門(上)
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  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.1(対数関数・指数関数)、問題6の解答を求めてみる。

6. 
   
   $\begin{array}{l}\frac{d^n}{d{x}^n}\left(x{e}^x\right)\\ =\frac{d}{\mathrm{dx}}\left(\frac{d^{n·\; <!--\; middle\; dot\; -->1}}{{\mathrm{dx}}^{n-1}}\left(x{e}^x\right)\right)\\ =\frac{d}{\mathrm{dx}}\left(x+\left(n-1\right)\right)e^x\\ =e^x+\left(x+n-1\right)e^x\\ =\left(x+n\right)e^x\end{array}$

   よって帰納法により成り立つ。

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, Derivative, exp

print('6.')

x = symbols('x')
n = symbols('n', nonnegative=True, integer=True)
f = x * exp(x)
g = (x + n) * exp(x)
d = Derivative(f, x)
for n0 in range(10):
    print(f'n = {n0}')
    fn = f.subs({n: n0})
    d = Derivative(fn, x, n0)
    gn = g.subs({n: n0})
    for o in [fn, gn, d, d.doit(), d.doit() == gn]:
        pprint(o)
        print()

ns = range(5)
p = plot(x, exp(x), f,
         ylim=(0, 20),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample6.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample6.py
6.
n = 0
   x
x⋅ℯ 

   x
x⋅ℯ 

   x
x⋅ℯ 

   x
x⋅ℯ 

True

n = 1
   x
x⋅ℯ 

         x
(x + 1)⋅ℯ 

d ⎛   x⎞
──⎝x⋅ℯ ⎠
dx      

   x    x
x⋅ℯ  + ℯ 

False

n = 2
   x
x⋅ℯ 

         x
(x + 2)⋅ℯ 

  2      
 d ⎛   x⎞
───⎝x⋅ℯ ⎠
  2      
dx       

         x
(x + 2)⋅ℯ 

True

n = 3
   x
x⋅ℯ 

         x
(x + 3)⋅ℯ 

  3      
 d ⎛   x⎞
───⎝x⋅ℯ ⎠
  3      
dx       

         x
(x + 3)⋅ℯ 

True

n = 4
   x
x⋅ℯ 

         x
(x + 4)⋅ℯ 

  4      
 d ⎛   x⎞
───⎝x⋅ℯ ⎠
  4      
dx       

         x
(x + 4)⋅ℯ 

True

n = 5
   x
x⋅ℯ 

         x
(x + 5)⋅ℯ 

  5      
 d ⎛   x⎞
───⎝x⋅ℯ ⎠
  5      
dx       

         x
(x + 5)⋅ℯ 

True

n = 6
   x
x⋅ℯ 

         x
(x + 6)⋅ℯ 

  6      
 d ⎛   x⎞
───⎝x⋅ℯ ⎠
  6      
dx       

         x
(x + 6)⋅ℯ 

True

n = 7
   x
x⋅ℯ 

         x
(x + 7)⋅ℯ 

  7      
 d ⎛   x⎞
───⎝x⋅ℯ ⎠
  7      
dx       

         x
(x + 7)⋅ℯ 

True

n = 8
   x
x⋅ℯ 

         x
(x + 8)⋅ℯ 

  8      
 d ⎛   x⎞
───⎝x⋅ℯ ⎠
  8      
dx       

         x
(x + 8)⋅ℯ 

True

n = 9
   x
x⋅ℯ 

         x
(x + 9)⋅ℯ 

  9      
 d ⎛   x⎞
───⎝x⋅ℯ ⎠
  9      
dx       

         x
(x + 9)⋅ℯ 

True


C:\Users\...>