数学 - Python - 解析学 - 級数 - 比による判定法 - 指数関数、逆数、収束

解析入門 原書第3版
原著
楽天ブックス Yahoo!

学習環境

• Surface、Surface ペン(端末)
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、3(比による判定法)の練習問題1を求めてみる。

1. 
   
   $\begin{array}{l}\frac{\left(n+1\right)2^{-\left(n+1\right)}}{n{2}^{-n}}\\ =\frac{n+1}{2^{n}n}\\ \le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{n+n}{2^{n}n}\\ =\frac{2n}{2^{n}n}\\ =\frac{1}{2^{n-1}}\end{array}$

   よって、

   $n\ge \; <!--\; greater-than\; or\; equal\; to\; -->2$

   に対して

   $\frac{a_{n+1}}{a_n}<\frac{1}{2}$

   ゆえに、問題の級数

   $\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->n{2}^{-n}$

   は収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, summation, oo
import matplotlib.pyplot as plt

print('1.')

n = symbols('n', integer=True)
s = summation(n * 2 ** (-n), (n, 0, oo))
pprint(s)


def f(n):
    return sum([k * 2 ** (-k) for k in range(0, n + 1)])


ns = range(1, 20)
plt.plot(ns, [f(n) for n in ns],
         ns, [s for _ in ns])

plt.legend(['n * 2^-n', s])
plt.savefig('sample1.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample1.py
1.
2

C:\Users\...>