2019年7月27日土曜日

学習環境

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、3(比による判定法)の練習問題4を求めてみる。


  1. a n + 1 a n = log n + 1 n + 1 2 · n 2 log n n 2 n + n 2 · log n + 1 log n = 1 2 · log n + 1 log n lim n 1 2 log n + 1 log n = 1 2 lim n n n + 1 = 1 2 lim n 1 1 + 1 n = 1 2

    よって、

    a n + 1 a n 1 2

    より、 問題の無限級数は収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, summation, oo, log, Limit
import matplotlib.pyplot as plt

print('4.')

n = symbols('n', integer=True)
s = summation(log(n) / n ** 2, (n, 1, oo))
pprint(s)


def f(n):
    return sum([log(k) / k ** 2 for k in range(1, n + 1)])


ns = range(2, 20)
plt.plot(ns, [f(n) for n in ns],
         ns, [s for _ in ns])

plt.legend(['Σ log(n) / n^2', 'an+1 / an', 1])
plt.savefig('sample4.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample4.py
4.
  ∞         
 ____       
 ╲          
  ╲   log(n)
   ╲  ──────
   ╱     2  
  ╱     n   
 ╱          
 ‾‾‾‾       
n = 1       

C:\Users\...>

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