2019年7月14日日曜日

学習環境

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、2(正項級数)の練習問題1を求めてみる。


  1. 1 n 3 1 n 2 n = 1 1 n 3 n = 1 1 n 2 1 + 1 2 2 + 1 3 2 + 1 4 2 + 1 + 1 2 2 + 1 2 2 + 1 4 2 + + 1 4 2 + 1 8 2 + + 1 8 2 + = 1 + 2 2 2 + 4 4 2 + 8 8 2 + = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 +

    よって、

    n = 1 1 n 2 = lim n 1 - 1 2 n + 1 1 - 1 2 = 2

    よって、 右辺は収束する。
    ゆえに

    n = 1 1 n 3

    は収束する。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, summation, oo
import matplotlib.pyplot as plt
print('1.')

n = symbols('n', integer=True)
s = summation(1 / n ** 3, (n, 1, oo))
pprint(s)


def f(n, i):
    return sum([1 / k ** i for k in range(1, n + 1)])


s0 = summation(1 / n ** 2, (n, 1, oo))
y0 = float(s0)
y1 = float(s)
ns = range(1, 20)
plt.plot(ns, [f(n, 2) for n in ns],
         ns, [f(n, 3) for n in ns],
         ns, [y0 for _ in ns],
         ns, [y1 for _ in ns])

plt.legend(['1/n^2', '1/n^3', s0, s])
plt.savefig('sample1.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample1.py
1.
ζ(3)

C:\Users\...>

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