2019年7月15日月曜日

学習環境

はじめてのルベーグ積分 (寺澤 順(著)、日本評論社)の第3章(外測度)、問題3の解答を求めてみる。


  1. 開集合 U を

    U = 2 , 2 + 1 2 2 3 , 3 + 1 3 2 n , n + 1 n 2

    とする。

    この開集合は上に有界ではない。

    また外測度について、

    µ * U = 2 + 1 2 2 - 2 + 3 + 1 3 2 - 3 + + n + 1 n 2 - n + = 1 2 2 + 1 3 2 + 1 2 2 + 1 2 2 + 1 4 2 + 1 4 2 + 1 4 2 + 1 4 2 + + = 2 2 2 + 4 4 2 + = 1 2 + 1 4 + = 1 2 + 1 2 2 + · · · = n = 1 1 2 n = lim n k = 1 n 1 2 k = lim n 1 2 - 1 2 n + 1 1 - 1 2 = 1 2 · 2 = 1 <

徐々に小さくなるようにしなくても、全てプラス2のn乗でよかった。そうすれば比較(不等式)も必要なくなるし。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo

print('3.')

n = symbols('n', integer=True)
s = summation(1 / n ** 2, (n, 2, oo))
for o in [s, s <= 1]:
    pprint(o)
    print()

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample3.py
3.
      2
     π 
-1 + ──
     6 

True


C:\Users\...>

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