数学 - 解析学 - 微分法 - 関数の凹凸(区間、内点、右側微分係数、左側微分係数、有界、単調増加、単調減少)

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第4章(微分法)、4.3(関数の凹凸)、問題1の解答を求めてみる。

1. 
   

   c を区間 I の内点とする。

   また a を区間 I の点で

   $a<c$

   とする。

   このとき

   $\begin{array}{l}x\in \; <!--\; element\; of\; -->I\\ c<x\end{array}$

   ならば問題の凸という仮定より、

   $\frac{f\left(c\right)-f\left(a\right)}{c-a}\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->\frac{f\left(x\right)-f\left(c\right)}{x-c}$

   ゆえに 右辺は下に有界である。

   また、 x が c に近づくとき単調減少である。

   よって右辺は収束する。

   以上より、 f は I の内点において右側微分係数をもつ。

   同様に、有界で単調増加であることを考えには、 f は I の内点において左側微分係数をもつ。

   （証明終）