2019年7月4日木曜日

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第4章(微分法)、4.3(関数の凹凸)、問題1の解答を求めてみる。


  1. c を区間 I の内点とする。

    また a を区間 I の点で

    a < c

    とする。

    このとき

    x I c < x

    ならば問題の凸という仮定より、

    f c - f a c - a f x - f c x - c

    ゆえに 右辺は下に有界である。

    また、 x が c に近づくとき単調減少である。

    よって右辺は収束する。

    以上より、 f は I の内点において右側微分係数をもつ。

    同様に、有界で単調増加であることを考えには、 f は I の内点において左側微分係数をもつ。

    (証明終)

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