数学 - Python - 図形と数や式の関係 - 平面図形と式 - 円と軌跡 - 円の接線 - ある点を通る接線の方程式、直線の方程式

新装版 数学読本2
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新装版 数学読本2 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第6章(図形と和也式の関係 - 平面図形と式)、6.3(円と軌跡)、円の接線の問27の解答を求めてみる。

27. 
    
    1. 
       

       接点の座標を

       $\left(x_0,y_0\right)$

       とおく。

       接線の方程式は、

       $x_{0}x+y_{0}y=4$

       点 （4，0） と通るから

       $\begin{array}{l}4x_0=4\\ x_0=1\end{array}$

       また、接点は問題の円周上の点なので

       $x_0^2+y_0^2=4$

       よって、

       $\begin{array}{l}1+y_0^2=4\\ y_0^2=3\\ y_0=\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{3}\end{array}$

       よって、 求める接線の方程式は、

       $\begin{array}{l}x\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{3}y=4\\ x\pm \; <!--\; plus-minus\; sign\; -->\sqrt{3}y-4=0\end{array}$
    2. 
       
       $\begin{array}{l}{x}_{0}x+y_{0}y=25\\ 7x_0-y_0=25\\ y_0=7x_0-25\\ x_0^2+y_0^2=25\\ x_0^2+{\left(7x_0-25\right)}^2=25\\ 50x_0^2-350x_0+25^2-25=0\\ 50x_0^2-350x_0+25\left(25-1\right)=0\\ 50x_0^2-350x_0+50·\; <!--\; middle\; dot\; -->12=0\\ x_0^2-7x_0+12=0\\ \left(x_0-4\right)\left(x_0-3\right)=0\\ x_0=3,y_0=-4\\ x_0=4,y_0=3\end{array}$

       よって求める接線の方程式は、

       $\begin{array}{l}3x-4y-25=0\\ 4x+3y-25=0\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, solve, sqrt, Rational

print('27.')

x = symbols('x', real=True)
ys = [1 / sqrt(3) * (-x + 4),
      -1 / sqrt(3) * (-x + 4),
      (3 * x - 25) / 4,
      (-4 * x + 25) / 3]
for y in ys:
    pprint(y)
    print()

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

p = plot((-sqrt(4 - x ** 2), (x, -1.9, 1.9)),
         (sqrt(4 - x ** 2), (x, -1.9, 1.9)),
         (-sqrt(25 - x ** 2), (x, -4.9, 4.9)),
         (sqrt(25 - x ** 2), (x, -4.9, 4.9)),
         *[(y0, (x, -10, 10)) for y0 in ys],
         ylim=(-10, 10),
         legend=True,
         show=False)

for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample27.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample27.py
27.
√3⋅(4 - x)
──────────
    3     

-√3⋅(4 - x) 
────────────
     3      

3⋅x   25
─── - ──
 4    4 

25   4⋅x
── - ───
3     3 


C:\Users\...>