数学 - 線形代数学 - 行列式 - 置換(偶置換と奇置換の個数、帰納法)

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の6章(行列式)、5(置換)、練習問題3の解答を求めてみる。

3. 
   
   $n=2$

   のとき、 奇置換は（1，2）、偶置換は恒等写イ象なので 個数は共に1で等しい。

   n が n のままの奇置換の個数は、

   $\left\{1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,n-1\right\}$

   の奇置 換の個数、 a が n のままではない奇置換は、

   $\left\{1,\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,n-1\right\}$

   の偶置換と 互換

   $\left(1,n\right),\left(2,n\right),\dots \; <!--\; horizontal\; ellipsis\; -->,\left(n-1,n\right)$

   の合成。

   偶置換の個数も同様。

   よって、帰納法により、 偶置換と奇置換の個数は等しい。

   (証明終)