数学 - Python - 線形代数学 - スカラー積と直交性 - 正値スカラー積 - 4次元、部分空間、正規直交基底、直交化、正規化

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の7章(スカラー積と直交性)、2(正値スカラー積)、練習問題2の解答を求めてみる。

2. 
   
   1. 
      

      直交基底。

      $\begin{array}{l}u=\left(1,2,1,0\right)\\ v=\left(1,2,3,1\right)-\frac{\left(1,2,3,1\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(1,2,1,0\right)}{\left(1,2,1,0\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(1,2,1,0\right)}\left(1,2,1,0\right)\\ =\left(1,2,3,1\right)-\frac{1+4+3}{1+4+1}\left(1,2,1,0\right)\\ =\left(1,2,3,1\right)-\frac{4}{3}\left(1,2,1,0\right)\\ =\frac{4}{3}\left(-1,-2,5,3\right)\end{array}$

      正規直交基底。

      $\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{6}}\left(1,2,1,0\right)\\ \frac{\left(-1,-2,5,3\right)}{\sqrt{1+4+25+9}}\\ =\frac{1}{\sqrt{39}}\left(-1,-2,5,3\right)\end{array}$
   2. 
      

      直交化。

      $\begin{array}{l}u=\left(1,1,0,0\right)\\ v=\left(1,-1,1,1\right)-\frac{\left(1,-1,1,1\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(1,1,0,0\right)}{\left(1,1,0,0\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(1,1,0,0\right)}\left(1,1,0,0\right)\\ =\left(1,-1,1,1\right)-\frac{1-1}{1+1}\left(1,1,0,0\right)\\ =\left(1,-1,1,1\right)\\ w=\left(-1,0,2,1\right)-\frac{\left(-1,0,2,1\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(1,-1,1,1\right)}{\left(1,-1,1,1\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(1,-1,1,1\right)}\left(1,-1,1,1\right)-\frac{\left(-1,0,2,1\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(1,1,0,0\right)}{\left(1,1,0,0\right)·\; <!--\; middle\; dot\; -->\left(1,1,0,0\right)}\left(1,1,0,0\right)\\ =\left(-1,0,2,1\right)-\frac{-1+2+1}{1+1+1+1}\left(1,-1,1,1\right)-\frac{-1}{1+1}\left(1,1,0,0\right)\\ =\left(-1,0,2,1\right)-\frac{1}{2}\left(1,-1,1,1\right)+\frac{1}{2}\left(1,1,0,0\right)\\ =\frac{1}{2}\left(-2,2,3,1\right)\end{array}$

      正規化。

      $\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{2}}\left(1,1,0,0\right)\\ \frac{1}{2}\left(1,-1,1,1\right)\\ \frac{\left(-2,2,3,1\right)}{\sqrt{4+4+9+1}}\\ =\frac{1}{3\sqrt{2}}\left(-2,2,3,1\right)\end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, Matrix, symbols

print('2.')

print('(a)')
v1 = Matrix([1, 2, 1, 0])
v2 = Matrix([1, 2, 3, 1])
v2 = v2 - v2.dot(v1) / v1.dot(v1) * v1

for v in [v1, v2]:
    pprint((v / v.norm()).transpose())
    print()

print('(b)')
v1 = Matrix([1, 1, 0, 0])
v2 = Matrix([1, -1, 1, 1])
v2 = v2 - v1.dot(v2) / v2.dot(v2) * v2
v3 = Matrix([-1, 0, 2, 1])
v3 = v3 - v3.dot(v2) / v2.dot(v2) * v2 - v3.dot(v1) / v1.dot(v1) * v1

for v in [v1, v2, v3]:
    pprint((v / v.norm()).transpose())
    print()

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample2.py
2.
(a)
⎡√6  √6  √6   ⎤
⎢──  ──  ──  0⎥
⎣6   3   6    ⎦

⎡-√39   -2⋅√39   5⋅√39  √39⎤
⎢─────  ───────  ─────  ───⎥
⎣  39      39      39    13⎦

(b)
⎡√2  √2      ⎤
⎢──  ──  0  0⎥
⎣2   2       ⎦

[1/2  -1/2  1/2  1/2]

⎡-√2   √2  √2  √2⎤
⎢────  ──  ──  ──⎥
⎣ 3    3   2   6 ⎦


C:\Users\...>