2019年6月15日土曜日

学習環境

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第14章(テイラーの公式)、補充問題18の解答を求めてみる。


  1. d dx log 1 + x 1 - x = 1 - x 1 + x · 1 - x + 1 + x 1 - x 2 = 2 1 + x 1 - x = 2 1 - x 2 d 2 dx 2 log 1 + x 1 - x = - 2 - 2 x 1 - x 2 2 = 4 x 1 - x 2 2 d 3 dx 3 log 1 + x 1 - x = 4 1 - x 2 2 - 4 x · 2 1 - x 2 - 2 x 1 - x 2 4 = 4 1 - x 2 + 16 x 2 1 - x 2 3 = 4 + 12 x 2 1 - x 2 3 d 4 d x 4 log 1 + x 1 - x = 24 x 1 - x 2 3 - 4 + 12 x 2 · 3 1 - x 2 2 - 2 x 1 - x 2 6 = 24 x 1 - x 2 + 4 + 12 x 2 6 x 1 - x 2 4 = 24 x - 24 x 3 + 24 x + 72 x 3 1 - x 2 4 = 48 x 3 + 48 x 1 - x 2 4 d 5 d x 5 log 1 + x 1 - x = 48 3 x 2 + 1 1 - x 2 4 - x 3 + x 4 1 - x 2 3 - 2 x 1 - x 2 8 = 48 3 x 2 + 1 1 - x 2 + 8 x x 3 + x 1 - x 2 5 = 48 3 x 2 - 3 x 4 + 1 - x 2 + 8 x 4 + 8 x 2 1 - x 2 5 = 48 5 x 4 + 10 x 2 + 1 1 - x 2 5

    よって、求める問題の対数関数に対する3次のテイラー多項式は、

    2 x + 4 3 ! x 3 = 2 x + 2 3 x 3

    剰余項の評価は、

    R 5 48 5 ! = 2 5

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, factorial, Derivative, log

print('18.')

x = symbols('x', real=True)
f = log((1 + x) / (1 - x))
g = sum([Derivative(f, x, n).doit().subs({x: 0}) / factorial(n) * x ** n
         for n in range(4)])
h = Derivative(f, x, 5).doit().factor()

for o in [g, h]:
    pprint(o)
    print()

p = plot(f, g,
         (x, -0.9, 1),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color


# p.show()
p.save('sample18.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample18.py
18.
   3      
2⋅x       
──── + 2⋅x
 3        

    ⎛   4       2    ⎞ 
-48⋅⎝5⋅x  + 10⋅x  + 1⎠ 
───────────────────────
          5        5   
   (x - 1) ⋅(x + 1)    


C:\Users\...>

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