数学 - Python - 解析学 - 微分法 - 平均値の定理(極値(極大値、極小値)、導関数、判別式)

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第4章(微分法)、4.2(平均値の定理)、問題2の解答を求めてみる。

2. 
   
   $f\text{'}\left(x\right)=3x^2+2ax+b$

   この判別式について。

   $\begin{array}{l}\frac{D}{4}\\ =a^2-3b\end{array}$

   よって、

   $a^2-3b>0$

   ならは極大値、極小値を1つずつもつ。

   また、

   $a^2-3b\le \; <!--\; less-than\; or\; equal\; to\; -->0$

   ならば極値をもたない。

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Derivative, solve, plot

print('2.')

x, a, b = symbols('x, a, b', real=True)
c = 0
f = x ** 3 + a * x ** 2 + b * x + c
ab = [(2, 1),
      (1, 2)]

f1 = Derivative(f, x, 1)
for o in [f1, f1.doit(), solve(f1.doit(), x)]:
    pprint(o)
    print()
gs = []
for (a0, b0) in ab:
    g = f.subs({a: a0, b: b0})
    gs.append(g)
    g1 = Derivative(g, x, 1)
    for o in [g1, g1.doit(), solve(g1.doit(), x)]:
        pprint(o)
        print()

p = plot(*gs, ylim=(-10, 10), legend=True, show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample2.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample2.py
2.
∂ ⎛   2          3⎞
──⎝a⋅x  + b⋅x + x ⎠
∂x                 

               2
2⋅a⋅x + b + 3⋅x 

⎡         __________           __________⎤
⎢        ╱  2                 ╱  2       ⎥
⎢  a   ╲╱  a  - 3⋅b     a   ╲╱  a  - 3⋅b ⎥
⎢- ─ - ─────────────, - ─ + ─────────────⎥
⎣  3         3          3         3      ⎦

d ⎛ 3      2    ⎞
──⎝x  + 2⋅x  + x⎠
dx               

   2          
3⋅x  + 4⋅x + 1

[-1, -1/3]

d ⎛ 3    2      ⎞
──⎝x  + x  + 2⋅x⎠
dx               

   2          
3⋅x  + 2⋅x + 2

[]


C:\Users\...>