数学 - Python - 解析学 - 微分法 - 微分法の諸公式(定数倍、和、積、商、合成関数、有理数を指数とする累乗)

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫数学入門シリーズ 4) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第4章(微分法)、4.1(微分法の諸公式)、問題1の解答を求めてみる。

1. $3 {(2 x^{2} - 2 x + 1)}^{2} (4 x - 2)$
2. $\begin{array}{l} 10 {(x^{2} + 1)}^{9} 2 x {(2 x - 5)}^{4} + {(x^{2} + 1)}^{10} \cdot 4 {(2 x - 5)}^{3} \cdot 2 \\ = {(x^{2} + 1)}^{9} {(2 x - 5)}^{3} (20 x (2 x - 5) + (x^{2} + 1) 8) \\ = {(x^{2} + 1)}^{9} {(2 x - 5)}^{3} 4 (5 x (2 x - 5) + (x^{2} + 1) 2) \\ = 4 {(x^{2} + 1)}^{9} {(2 x - 5)}^{3} (12 x^{2} - 25 x + 2) \end{array}$
3. $\begin{array}{l} \frac{(2 x - 2) (x^{2} + x + 2) - (x^{2} - 2 x + 6) (2 x + 1)}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}} \\ = \frac{3 x^{2} + (2 - 10) x - 10}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}} \\ = \frac{3 x^{2} - 8 x - 10}{{(x^{2} + x + 2)}^{2}} \end{array}$
4. $\begin{array}{l} \frac{3 {(3 x + 2)}^{2} 3 {(2 x - 1)}^{2} - {(3 x + 2)}^{3} \cdot 2 (2 x - 1) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{4}} \\ = \frac{9 {(3 x + 2)}^{2} (2 x - 1) - {(3 x + 2)}^{3} \cdot 4}{{(2 x - 1)}^{3}} \\ = \frac{{(3 x + 2)}^{2} (18 x - 9 - 12 x - 8)}{{(2 x - 1)}^{3}} \\ = \frac{{(3 x + 2)}^{2} (6 x - 17)}{{(2 x - 1)}^{3}} \end{array}$
5. $\begin{array}{l} \frac{3}{2} {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 2) \\ = 3 {(x^{2} + 2 x)}^{\frac{1}{2}} (x + 1) \end{array}$
6. $\begin{array}{l} \frac{d}{dx} x {(2 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} \\ = {(2 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} + x (- \frac{1}{2}) {(2 x^{2} - 1)}^{- \frac{3}{2}} 4 x \\ = {(2 x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{2}} - 2 x^{2} {(2 x^{2} - 1)}^{- \frac{3}{2}} \\ = {(2 x^{2} - 1)}^{- \frac{3}{2}} (2 x^{2} - 1 - 2 x^{2}) \\ = - {(2 x^{2} - 1)}^{- \frac{3}{2}} \end{array}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Derivative, Rational, sqrt
print('1.')

x = symbols('x')

fs = [(2 * x ** 2 - 2 * x + 1) ** 3,
      (x ** 2 + 1) ** 10 * (2 * x - 5) ** 4,
      (x ** 2 - 2 * x + 6) / (x ** 2 + x + 2),
      (3 * x + 2) ** 3 / (2 * x - 1) ** 2,
      (x ** 2 + 2 * x) ** Rational(3, 2),
      x / sqrt(2 * x ** 2 - 1)]

gs = [3 * (2 * x ** 2 - 2 * x + 1) ** 2 * (4 * x - 2),
      4 * (x ** 2 + 1) ** 9 * (2 * x - 5) ** 3 * (12 * x ** 2 - 25 * x + 2),
      (3 * x ** 2 - 8 * x - 10) / (x ** 2 + x + 2) ** 2,
      (3 * x + 2) ** 2 * (6 * x - 17) / (2 * x - 1) ** 3,
      3 * (x ** 2 + 2 * x) ** Rational(1, 2) * (x + 1),
      -(2 * x ** 2 - 1) ** Rational(-3, 2)]

for i, (f, g) in enumerate(zip(fs, gs), 1):
    print(f'({i})')
    f1 = Derivative(f, x, 1)
    for o in [f1.doit().factor(), g.factor(), f1.doit().factor() == g.factor()]:
        pprint(o)
        print()

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample1.py
1.
(1)
                            2
            ⎛   2          ⎞ 
6⋅(2⋅x - 1)⋅⎝2⋅x  - 2⋅x + 1⎠ 

                            2
            ⎛   2          ⎞ 
6⋅(2⋅x - 1)⋅⎝2⋅x  - 2⋅x + 1⎠ 

True

(2)
                                        9
                   3            ⎛ 2    ⎞ 
4⋅(x - 2)⋅(2⋅x - 5) ⋅(12⋅x - 1)⋅⎝x  + 1⎠ 

                                        9
                   3            ⎛ 2    ⎞ 
4⋅(x - 2)⋅(2⋅x - 5) ⋅(12⋅x - 1)⋅⎝x  + 1⎠ 

True

(3)
   2           
3⋅x  - 8⋅x - 10
───────────────
             2 
 ⎛ 2        ⎞  
 ⎝x  + x + 2⎠  

   2           
3⋅x  - 8⋅x - 10
───────────────
             2 
 ⎛ 2        ⎞  
 ⎝x  + x + 2⎠  

True

(4)
         2           
(3⋅x + 2) ⋅(6⋅x - 17)
─────────────────────
               3     
      (2⋅x - 1)      

         2           
(3⋅x + 2) ⋅(6⋅x - 17)
─────────────────────
               3     
      (2⋅x - 1)      

True

(5)
    ___________        
3⋅╲╱ x⋅(x + 2) ⋅(x + 1)

    ___________        
3⋅╲╱ x⋅(x + 2) ⋅(x + 1)

True

(6)
     -1      
─────────────
          3/2
⎛   2    ⎞   
⎝2⋅x  - 1⎠   

     -1      
─────────────
          3/2
⎛   2    ⎞   
⎝2⋅x  - 1⎠   

True


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2019年6月14日金曜日

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