数学 - Python - 解析学 - 微分法 - 平均値の定理(ロルの定理、微分、区間)

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第4章(微分法)、4.2(平均値の定理)、問題6の解答を求めてみる。

6. 
   
   $f\left(x\right)=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\frac{c_k}{k+1}{x}^{k+1}$

   とおく。 微分すると、

   $f\text{'}\left(x\right)=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{c}_k{x}^k$

   また、

   $f\left(0\right)=0$

   問題の仮定より、

   $f\left(1\right)=\underset{k=0}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}\frac{c_k}{k+1}=0$

   よって、開区間（0，1）のある点 a が存在して、

   $\begin{array}{l}f\text{'}\left(a\right)=0\\ \underset{k=0}{\overset{n}{\sum \; <!--\; n-ary\; summation\; -->}}{c}_k{x}^k=0\end{array}$

   よって、 少なくとも1つの実数解をもつ。

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, solve, plot

print('6.')
x = symbols('x')
c0 = -1
c1 = 4
c2 = -3
cs = [c0, c1, c2]
f = sum([c / (i + 1) for i, c in enumerate(cs)])
g = sum([c * x ** i for i, c in enumerate([c0, c1, c2])])

for o in [f, g]:
    pprint(o)
    print()

pprint(solve(g, x))

p = plot(f, g,
         (x, -5, 5),
         ylim=(-5, 5),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample6.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample6.py
6.
0.0

     2          
- 3⋅x  + 4⋅x - 1

[1/3, 1]

C:\Users\...>