数学 - Python - 関連しながら変化する世界 - 簡単な関数 - 分数関数・無理関数 - 逆関数(元の関数と逆関数が一致する関数)

新装版 数学読本2
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新装版 数学読本2 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(関連しながら変化する世界 - 簡単な関数)、5.3(分数関数・無理関数)、逆関数の問43の解答を求めてみる。

43. 
    

    （1， 1） を通るので、

    $\begin{array}{l}1=\frac{a+b}{3}\\ 3=a+b\\ b=-a+3\end{array}$

    逆関数は

    $\begin{array}{l}x=\frac{ay-a+3}{y+2}\\ \left(y+2\right)x=ay-a+3\\ \left(x-a\right)y=-2x-a+3\\ y=\frac{-2x-a+3}{x-a}\end{array}$

    もとの関数と一致するので、

    $\begin{array}{l}\frac{ax-a+3}{x+2}=\frac{-2x-a+3}{x-a}\\ \left(ax-a+3\right)\left(x-a\right)=\left(-2x-a+3\right)\left(x+2\right)\\ \left(a+2\right)x^2+\left(-a^2-a+3+4+a-3\right)x+\left(a^2-3a+2a-6\right)=0\\ \left(a+2\right)x^2-\left(a^2-4\right)+\left(a^2-a-6\right)=0\\ \left(a+2\right)\left(x^2-\left(a-2\right)x+\left(a-3\right)\right)=0\end{array}$

    よって、 求める a 、 b の値はそれぞれ

    $a=-2,b=5$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, sqrt, solve

print('43.')

x, y, a = symbols('x, y, a', real=True)

b = -a + 3
f = (a * x + b) / (x + 2)
g = solve(x - f.subs({x: y}), y)[0]

a0 = solve(f - g, a)

for o in [g, f, a0]:
    pprint(o)
    print()

a0 = a0[0]

print(f'a = {a0}, b = {b.subs({a:a0})}')

p = plot(*[h.subs({a: a0}) for h in [f, g]],
         ylim=(-10, 10),
         legend=True, show=False)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'gray', 'skyblue', 'yellow', 'pink']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample43.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample43.py
43.
a + 2⋅x - 3
───────────
   a - x   

a⋅x - a + 3
───────────
   x + 2   

[-2, x + 3]

a = -2, b = 5


C:\Users\...>