数学 - 解析学 - ルベーグ積分 - 外測度 - 有界閉集合の連続写像による像、任意の点列、収束する部分列

はじめてのルベーグ積分
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はじめてのルベーグ積分 (寺澤 順(著)、日本評論社)の第3章(外測度)、問題2の解答を求めてみる。

2. 
   

   f を連続関数、 F を f の定義域の有界閉集合な部分集合とする。

   ${\left(b_n\right)}_{n\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℕ <!-- double-struck capital N -->}}$

   と F の f による像の元の任意の点列とする。

   また、

   $\begin{array}{l}{\left(a_n\right)}_{n\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℕ <!-- double-struck capital N -->}}\\ f\left(a_n\right)=b_n\end{array}$

   を満たす F 内の点列を考える。 F は実数の部分集合で有界閉集合、コンパクトなので、 F の点に収束 する部分列をもつ。その部分列、 F の点をそれぞれ

   $\begin{array}{l}{\left(a_{n_k}\right)}_{k\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℕ <!-- double-struck capital N -->}}\\ a\end{array}$

   とする。

   このことと、 f が連続であることを考えれば、数列

   ${\left(b_{n_k}\right)}_{k\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℕ <!-- double-struck capital N -->}}={\left(f\left(a_{n_k}\right)\right)}_{k\in \; <!--\; element\; of\; -->\text{ℕ <!-- double-struck capital N -->}}$

   は F の f による像内の点、

   $f\left(a\right)\in \; <!--\; element\; of\; -->f\left(F\right)$

   に収束する。

   よって、

   $f\left(F\right)$

   内の点列はこの像の点に収束する部分列をもつからこの像はコンパクト、有界閉集合である。

   （証明終）