2019年6月3日月曜日

学習環境

はじめてのルベーグ積分 (寺澤 順(著)、日本評論社)の第3章(外測度)、問題2の解答を求めてみる。


  1. f を連続関数、 F を f の定義域の有界閉集合な部分集合とする。

    b n n

    と F の f による像の元の任意の点列とする。

    また、

    a n n f a n = b n

    を満たす F 内の点列を考える。 F は実数の部分集合で有界閉集合、コンパクトなので、 F の点に収束 する部分列をもつ。その部分列、 F の点をそれぞれ

    a n k k a

    とする。

    このことと、 f が連続であることを考えれば、数列

    b n k k = f a n k k

    は F の f による像内の点、

    f a f F

    に収束する。

    よって、

    f F

    内の点列はこの像の点に収束する部分列をもつからこの像はコンパクト、有界閉集合である。

    (証明終)

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