2019年5月28日火曜日

学習環境

ラング線形代数学(上)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、ちくま学芸文庫)の6章(行列式)、4(行列式の存在)、練習問題10の解答を求めてみる。


  1. 3×3行列式に拡張。

    φ t = det [ f t g t h t f ' t g ' t h ' t f ' ' t g ' ' t h ' ' t ] = f t g ' t h ' ' t - g ' ' t h ' t - g t f ' t h ' ' t - f ' ' t h ' t + h t f ' t g ' ' t - f ' ' t g ' t φ ' t = f t g ' t h 3 t - g 3 h ' t - g t f ' t h 3 t - f 3 t h ' t + h t f ' t g 3 t - f 3 t g ' t = det [ f t g t h t f ' t g ' t h ' t f 3 t g 3 t h 3 t ]

    一般化。

    f 1 det [ f 2 ' f n ' f 2 n - 1 f n n - 1 ] - + - 1 n - 1 f n det [ f 1 ' f n - 1 1 f 1 n - 1 f n - 1 n - 1 ] = f 1 det [ f 2 ' f n ' f 2 n f n n ] - + - 1 n - 1 f n det [ f 1 ' f n - 1 1 f 1 n f n - 1 n ] + f 1 1 det [ f 2 1 f n ' f 2 n - 1 f n n - 1 ] - + - 1 n - 1 f n ' det [ f n ' f n - 1 1 f 1 n - 1 f n - 1 n - 1 ] = f 1 det [ f 2 ' f n ' f n n f n n ] - + - 1 n - 1 f n [ f 1 f n - 1 1 f 1 n f n - 1 n ] = det [ f 1 f n f 1 n f n n ]

    よって、 帰納法により、一番下の行と微分すればし、この形の行列式の導関数が求められる。

    (証明終)

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Matrix, Function, Derivative

print('10.')

t = symbols('t')

f = Function('f')(t)
g = Function('g')(t)
h = Function('h')(t)
A = Matrix([[Derivative(s, t, i) for s in [f, g, h]]
            for i in range(3)])

B = Matrix([[Derivative(s, t, i) for s in [f, g, h]]
            for i in [0, 1, 3]])
phi = A.det()
phi1 = B.det()
for o in [A, B, Derivative(phi, t, 1).doit() == phi1]:
    pprint(o)
    print()

入出力結果(Bash、cmd(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample10.py
10.
⎡  f(t)       g(t)       h(t)   ⎤
⎢                               ⎥
⎢d          d          d        ⎥
⎢──(f(t))   ──(g(t))   ──(h(t)) ⎥
⎢dt         dt         dt       ⎥
⎢                               ⎥
⎢  2          2          2      ⎥
⎢ d          d          d       ⎥
⎢───(f(t))  ───(g(t))  ───(h(t))⎥
⎢  2          2          2      ⎥
⎣dt         dt         dt       ⎦

⎡  f(t)       g(t)       h(t)   ⎤
⎢                               ⎥
⎢d          d          d        ⎥
⎢──(f(t))   ──(g(t))   ──(h(t)) ⎥
⎢dt         dt         dt       ⎥
⎢                               ⎥
⎢  3          3          3      ⎥
⎢ d          d          d       ⎥
⎢───(f(t))  ───(g(t))  ───(h(t))⎥
⎢  3          3          3      ⎥
⎣dt         dt         dt       ⎦

True


C:\Users\...>

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